Решение задачи
Задача говорит, что четыре корня уравнения (x^2 − a x + b)(x^2 − (a+192)x + b) = 0 являются последовательными степенями двойки. Пусть эти корни имеют вид
2^m, 2^{m+1}, 2^{m+2}, 2^{m+3} for some целое m.
Пусть первая скобка дает корни p, q, вторая — r, s. Тогда по теореме Виета:
- pq = b, p + q = a
- rs = b, r + s = a + 192
Так как pq = rs = b, пары корней должны иметь равный произведение. Из всех трёх возможных разбиений четырёх чисел {2^m, 2^{m+1}, 2^{m+2}, 2^{m+3}} на пары, единственное разбиение, где произведения пар равны, это:
- (2^m, 2^{m+3}) и (2^{m+1}, 2^{m+2})
Следовательно,
- b = (2^m)(2^{m+3}) = 2^{2m+3}
- суммы: p + q = 2^m + 2^{m+3} = 9·2^m, r + s = 2^{m+1} + 2^{m+2} = 3·2^{m+1}
С учетом того, что суммы в двух квадратах отличаются на 192, имеем либо
a = 9·2^m и a + 192 = 3·2^{m+1}, либо наоборот. Разность равна |3·2^{m+1} − 9·2^m| = 3·2^m. Следовательно:
3·2^m = 192 → 2^m = 64 → m = 6.
Значит:
- a = 3·2^{m+1} = 3·2^7 = 384
- b = 2^{2m+3} = 2^{15} = 32768
Проверим: ab = 384 · 32768 = (3·2^7)·(2^{15}) = 3·2^{22}.
Наибольшая сила двойки, делящая ab, равна 2^{22} (то есть ab делится на 2^{22}, но не на 2^{23}).
Ответ: наибольшая такая степень двойки — 2^{22} (эквивалентно экспоненте 22).
Для уверенности можно проверить корни: первый квадратик имеет корни 128 и 256 (2^7 и 2^8), второй — 64 и 512 (2^6 и 2^9); все четыре корня — последовательные степени двойки, и суммы соответствуют a = 384, a+192 = 576, произведения двух пар равны 32768.
