Две подруги в ходе телефонных бесед обменивались новостями: Катя рассказала Соне две новости, та в ответ - свою, в следующий раз Катя снова рассказала две новости, а Соня две и…

Разберем задачу пошагово.

1. Правило распределения новостей

• Катя рассказывает ровно две новости за каждый раунд.
• Соня отвечает и рассказывает на одну больше, чем в предыдущий раз. Значит, для раунда r (нумерация с 1) Соня рассказывает k_r = r + 1 новостей.
• Итак, после окончания раунда r суммарно рассказано: S_r = сумма по всем раундам до r: S_r = sum_{t=1..r} (2 + (t+1)) = sum_{t=1..r} (t+3).

2. Формула для общего числа рассказанных к моменту конца раунда r

• sum_{t=1..r} (t+3) = sum_{t=1..r} t + 3r = r(r+1)/2 + 3r = (r^2 + 7r)/2.
• Обозначим A(r) = (r^2 + 7r)/2 — общее число рассказанных к концу раунда r.

3. Что значит момент ровно при 1000 новостей?

• Вариант 1: момент наступил в конце раунда, т.е. 1000 = A(r). Придётся решить r^2 + 7r = 2000. Это квадратичное уравнение, дискриминант D = 49 + 8000 = 8049, не точная квадратная величина, так что целого r не существует. Значит 1000 не достигается точно в конце раунда.
• Вариант 2: момент наступил во время того, как Соня рассказывает в каком-то раунде, т.е. в середине блока Соня-го раунда. В этом случае после окончания предыдущего раунда (до начала раунда i) всего рассказано S_{i-1} = A(i-1) = ((i-1)^2 + 7(i-1))/2 новостей. Соня в раунде i рассказывает i+1 новостей, и 1000 попадает в этот диапазон: S_{i-1} < 1000 ≤ S_{i-1} + (i+1).

4. Нахождение эффективного раунда i Положим i такое, чтобы выполнялись:

• (i-1)^2 + 7(i-1) < 2000 (умножим на 2: S_{i-1} < 1000)
• (i-1)^2 + 7(i-1) + 2(i+1) ≥ 4000 (для неравенства 1000 ≤ S_{i-1} + (i+1))

Упрощаем через S_{i-1} = (i^2 + 5i - 6)/2:

1. (i^2 + 5i - 6)/2 < 1000 => i^2 + 5i - 2006 < 0.
2. 1000 ≤ (i^2 + 5i - 6)/2 + (i+1) => i^2 + 7i - 2004 ≥ 0.

Корни этих квадратичных неравенств дают:

• для первого: i ≈ 42.38, значит i ≤ 42.
• для второго: i ≈ 41.41, значит i ≥ 42.

Таким образом, единственное целое решение: i = 42.

5. Сколько из 1000 рассказала Соня Перед началом 42-го раунда всего рассказано S_{41} = A(41) = (41^2 + 7·41)/2 = (1681 + 287)/2 = 1968/2 = 984 новостей. В 42-м раунде Соня рассказывает еще i+1 = 43 новости. Необходимо, чтобы сумма достигла 1000: 1000 - 984 = 16. Значит, из 43 новостей во 42-м раунде Соня рассказала 16 новостей до достижения ровно 1000.

Ответ: 16.