Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 16 и 30 см.Пусть С-вершина прямого угла Найдите в см2 площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки…

Дано: прямоугольный треугольник ABC с углом при C равным 90°. Катеты: CA = 16 см, CB = 30 см. Точка C — вершина прямого угла. CK — бисектриса угла C, пересекает гипотенузу AB в точке K. Нужно найти площадь фигуры после складывания по оси CK (округлить до целого).

1. Найдем точку K на стороне AB через бисектрису CK

• По теореме биссектрисы AK/KB = AC/CB = 16/30 = 8/15.
• Применим формулу разделения отрезка AB в отношениях 8:15. Пусть A = (16, 0), B = (0, 30). Тогда K = ( (15A_x + 8B_x)/23, (15A_y + 8B_y)/23 ) = ( (15·16)/23, (8·30)/23 ) = (240/23, 240/23). Это удобно, потому что K лежит на линии y = x.

2. Что произойдет при складывании по CK

• При folding'е треугольник CAK отражается относительно CK в треугольник CA'K, где A’ лежит на стороне CB и CA’ = CA = 16.
• Точка A’ получается как отражение A по CK: на CB мы имеем точку на расстоянии 16 от C по оси CB. Это координаты (0, 16).
• Треугольник CA’K целиком лежит внутри треугольника CBK, потому что A’ лежит на стороне CB самого треугольника CBK, а C и K — общие вершины.
• Следовательно, после складывания площадь области на столе равна площади треугольника CBK (размеры не «увеличиваются» за счет наложения).

3. Площадь треугольника CBK

• Основа CB имеет длину 30.
• Расстояние от точки K до прямой CB (ось x=0) равно x-координате K, то есть 240/23.
• Площадь CBK = 1/2 · base · height = 1/2 · 30 · (240/23) = 3600/23 ≈ 156.522.
• Округляем до целого: примерно 157 см².

Ответ: 157 см².