Задача: найти determinant матрицы размерности 4×4:
[ [3, 1, -3, 4],
[1, 1, -1, 2],
[-1, 2, 2, 0],
[0, 3, 1, 2] ]
Пошаговое решение (по разложению по первому столбцу):
1) Разложим по первому столбцу:
det(A) = a11·det(M11) - a21·det(M21) + a31·det(M31) - a41·det(M41),
где M11, M21, M31, M41 — соответствующие миноры.
Здесь a11 = 3, a21 = 1, a31 = -1, a41 = 0. Значит:
det(A) = 3·det(M11) - 1·det(M21) + (-1)·det(M31) - 0·det(M41).
2) Вычислим det(M11):
M11 получается из матрицы, удаляя первую строку и первый столбец:
[ [1, -1, 2],
[2, 2, 0],
[3, 1, 2] ]
det(M11) = 1·det([[2,0],[1,2]]) - (-1)·det([[2,0],[3,2]]) + 2·det([[2,2],[3,1]])
= 1·(4) - (-1)·(4) + 2·(-4)
= 4 + 4 - 8 = 0.
3) Вычислим det(M21):
M21 получается из матрицы, удаляя вторую строку и первый столбец:
[ [1, -3, 4],
[2, 2, 0],
[3, 1, 2] ]
det(M21) = 1·det([[2,0],[1,2]]) - (-3)·det([[2,0],[3,2]]) + 4·det([[2,2],[3,1]])
= 1·(4) - (-3)·(4) + 4·(-4)
= 4 + 12 - 16 = 0.
4) Вычислим det(M31):
M31 получается из матрицы, удаляя третью строку и первый столбец:
[ [1, -3, 4],
[1, -1, 2],
[3, 1, 2] ]
det(M31) = 1·det([[-1,2],[1,2]]) - (-3)·det([[1,2],[3,2]]) + 4·det([[1,-1],[3,1]])
= 1·((-1)*2 - 2*1) - (-3)*(1*2 - 2*3) + 4*(1*1 - (-1)*3)
= 1·(-4) - (-3)*(-4) + 4*(4)
= -4 - 12 + 16 = 0.
5) Подставим результаты:
det(A) = 3·0 - 1·0 + (-1)·0 - 0·det(M41) = 0.
Ответ: det матрицы равен 0. Матрица вырождена (сингулярна).
