|3 1 -3 4| |1 1 -1 2| |-1 2 2 0| |0 3 1 2| вычислить определитель 4-го порядка

Задача: найти determinant матрицы размерности 4×4: [ [3, 1, -3, 4], [1, 1, -1, 2], [-1, 2, 2, 0], [0, 3, 1, 2] ]

Пошаговое решение (по разложению по первому столбцу):

1. Разложим по первому столбцу: det(A) = a11·det(M11) - a21·det(M21) + a31·det(M31) - a41·det(M41), где M11, M21, M31, M41 — соответствующие миноры.

Здесь a11 = 3, a21 = 1, a31 = -1, a41 = 0. Значит: det(A) = 3·det(M11) - 1·det(M21) + (-1)·det(M31) - 0·det(M41).

2. Вычислим det(M11): M11 получается из матрицы, удаляя первую строку и первый столбец: [ [1, -1, 2], [2, 2, 0], [3, 1, 2] ]

det(M11) = 1·det([[2,0],[1,2]]) - (-1)·det([[2,0],[3,2]]) + 2·det([[2,2],[3,1]]) = 1·(4) - (-1)·(4) + 2·(-4) = 4 + 4 - 8 = 0.

3. Вычислим det(M21): M21 получается из матрицы, удаляя вторую строку и первый столбец: [ [1, -3, 4], [2, 2, 0], [3, 1, 2] ]

det(M21) = 1·det([[2,0],[1,2]]) - (-3)·det([[2,0],[3,2]]) + 4·det([[2,2],[3,1]]) = 1·(4) - (-3)·(4) + 4·(-4) = 4 + 12 - 16 = 0.

4. Вычислим det(M31): M31 получается из матрицы, удаляя третью строку и первый столбец: [ [1, -3, 4], [1, -1, 2], [3, 1, 2] ]

det(M31) = 1·det([[-1,2],[1,2]]) - (-3)·det([[1,2],[3,2]]) + 4·det([[1,-1],[3,1]]) = 1·((-1)2 - 21) - (-3)(12 - 23) + 4(11 - (-1)3) = 1·(-4) - (-3)(-4) + 4(4) = -4 - 12 + 16 = 0.

5. Подставим результаты: det(A) = 3·0 - 1·0 + (-1)·0 - 0·det(M41) = 0.

Ответ: det матрицы равен 0. Матрица вырождена (сингулярна).