Решение задачи: x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = 0
Цель по заданию: понять решение подробно и понятно.
Шаг 1. Найдём целые корни методом рациональных корней
Проверим простые целые значения, например x = 1:
1^4 + 1^3 + 1^2 - 1 - 2 = 1 + 1 + 1 - 1 - 2 = 0
Значит, x = 1 — корень многочлена. Значит, можно разделить многочлен на (x - 1).
Шаг 2. Деление многочлена на (x - 1) (синтетическое деление)
Коэффициенты: 1, 1, 1, -1, -2
Опускаем первый коэффициент: 1
11 = 1; 1 + 1 = 2
21 = 2; 1 + 2 = 3
31 = 3; -1 + 3 = 2
21 = 2; -2 + 2 = 0
Получаем остаток 0 и остаточный многочлен: x^3 + 2x^2 + 3x + 2
Шаг 3. Проверим снова простой корень у полученного кубического
Проверим x = -1:
(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0
Значит, x = -1 — ещё один корень. Разделим кубический на (x + 1).
Деление x^3 + 2x^2 + 3x + 2 на (x + 1) (синтетическое деление со значением -1):
Коэффициенты: 1, 2, 3, 2
Опускаем 1
1*(-1) = -1; 2 + (-1) = 1
1*(-1) = -1; 3 + (-1) = 2
2*(-1) = -2; 2 + (-2) = 0
Получаем квадратный многочлен: x^2 + x + 2
Итак, разложение исходного многочлена:
x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 2)
Шаг 4. Решение квадратного трёхчлена
x^2 + x + 2 = 0
Дискриминант: D = 1 - 8 = -7 < 0
Корни комплексные:
x = (-1 ± i√7) / 2
Итого корни уравнения:
- Реальные: x = 1, x = -1
- Комплексные: x = (-1 ± i√7) / 2
Ответ:
Многочлен факторизуется как (x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 2), реальные корни: x = 1 и x = -1; комплексные корни: x = (-1 ± i√7)/2.
