В треугольнике ABC точка A1-середина стороны AC точка B1 лежит на стороне BC AB1 пересекает BA1 в точке O найдите B1 C если BO=BB1 и OA1=3 см

Ответ: B1C = 6 см.

Пошаговое решение (детальный разбор):

• Обозначения и установка координат:

  • Пусть точка B в начале координат: B = (0, 0).
  • Пусть C лежит на оси x: C = (c, 0) с c > 0.
  • Пусть A = (x, y) с y ≠ 0.
  • A1 — середина AC, значит A1 = ((x + c)/2, y/2).
  • B1 лежит на BC, потому B1 = (t c, 0) с t ∈ (0, 1).

• Найдем точку O — пересечение прямых AB1 и BA1.

  • Прямая AB1: через A и B1 задаётся как A + s(B1 − A) = ( x + s(tc − x), y(1 − s) ).
  • Прямая BA1: через B и A1 задаётся как B + u(A1 − B) = ( u(x + c)/2, uy/2 ).
  • Приравниваем координаты:
    • y-координата: (1 − s) y = u y/2 → u = 2(1 − s).
    • x-координата: x + s(tc − x) = (1 − s)(x + c).
  • Из последнего равенства получаем s = 1/(t + 1) (и, следовательно, u = 2t/(t + 1)).

• Выразим нужные расстояния через BA1 и t:

  • BA1 — расстояние от B до A1: BA1 = 1/2 sqrt((x + c)^2 + y^2).
  • Точка O на BA1 соответствует параметру u = 2t/(t + 1), поэтому BO = расстояние от B до O = (длина вектора O) = (t/(t + 1)) sqrt((x + c)^2 + y^2) = 2t BA1/(t + 1).
  • OA1 — расстояние от O до A1. По вычислениям вдоль той же линии BA1: OA1 = BA1 · (1 − t)/(t + 1).

• Условие BO = BB1 и выразим BB1:

  • BB1 — расстояние от B до B1 на BC: BB1 = t c.
  • Условие BO = BB1 даёт: 2t BA1/(t + 1) = t c. Так как t ≠ 0 (B1 не совпадает с B), делим на t: c = 2 BA1/(t + 1).

• Найдём B1C:

  • B1C = BC − BB1 = c − t c = c(1 − t).
  • Подставляя c из вышеуказанного равенства: B1C = (2 BA1/(t + 1)) (1 − t) = 2 BA1 (1 − t)/(t + 1).
  • Но OA1 = BA1 (1 − t)/(t + 1). Следовательно, B1C = 2 · OA1.

• Дано OA1 = 3 см, значит B1C = 2 · 3 см = 6 см.

Ответ: B1C = 6 см.