площать прямоугольника с катетами к и d равна 1/2 (к+d)

Задача: найти пары катетов k и d прямоугольника такие, что площадь S = kd равна 1/2 (k + d).

Шаги решений:

1. Запишем условие: kd = (k + d)/2.
2. Умножим на 2: 2kd = k + d.
3. Это можно решить относительно одной переменной:
   • относительно d: d(2k − 1) = k, значит d = k/(2k − 1) при 2k − 1 ≠ 0.
   • относительно k: k(2d − 1) = d, значит k = d/(2d − 1) при 2d − 1 ≠ 0.
4. Эквивалентно можно записать красивую связь (2k − 1)(2d − 1) = 1, что следует из 2kd = k + d после умножения на 2 и переноса.
5. Условия на длины: если k > 0 и d > 0, то из выражения d = k/(2k − 1) следует, что 2k − 1 > 0, то есть k > 1/2; аналогично d > 1/2. То есть допустимы только пары с k > 1/2 и d > 1/2.
6. Параметрическое представление: пусть t > 0. Тогда можно задать
   • 2k − 1 = t, 2d − 1 = 1/t,
   • k = (t + 1)/2, d = (t + 1)/(2t). Это дает все решения, удовлетворяющие условию.

Примеры:

• t = 1: k = 1, d = 1 (S = kd = 1; (k + d)/2 = 1).
• t = 2: k = 3/2, d = 3/4 (S = 9/8 = 1.125; (k + d)/2 = 1.125).

Итак, все пары (k, d) с k > 1/2 и d > 1/2, удовлетворяющие kd = (k + d)/2, задаются формой:

• d = k/(2k − 1) (или symmetrично k = d/(2d − 1),
• или через параметр t > 0: k = (t + 1)/2, d = (t + 1)/(2t),
• равноценный вид: (2k − 1)(2d − 1) = 1.