Задача Задача №3476070
А
А
Диагонали АС и BD в трапеции ABCD с основанием BC и AD пересекающие в точке O BC=6 AD=13 AC=38 найти AО
Задача решается с использованием свойств трапеции: диагонали пересекаются в точке O и делят друг друга пропорционально основаниям трапеции.
- Пусть трапеция ABCD имеет основания AD и BC (AD // BC). Рассмотрим треугольники AOD и COB.
- Так как AD ∥ BC, углы при D в треугольнике AOD и при B в треугольнике COB равны (по наклонному углу основания и BD): ∠ADO = ∠CBO.
- Также углы между диагоналями AO (AC) и OD (BD) и между OC (AC) и OB (BD) одинаковы, потому что это углы между одними и теми же прямыми AC и BD: ∠AOD = ∠COB.
Итак, треугольники AOD и COB подобны (AA). Следовательно, соответствующие стороны соотносятся так, что AO/OC = AD/CB.
По условию даны: AD = 13, BC = 6, AC = 38. Пусть AO = x, тогда OC = AC − AO = 38 − x. Из пропорции AO/OC = AD/CB имеем: x / (38 − x) = 13 / 6.
Решим уравнение: 6x = 13(38 − x) = 494 − 13x (6x + 13x) = 494 19x = 494 x = 494 / 19 = 26.
Ответ: AO = 26. (И тогда OC = 38 − 26 = 12, и AO/OC = 26/12 = 13/6, что совпадает с отношением оснований AD/BC.)
