Геометрия · 7 класс Задача №3476420
А
А
отрезки AE и DC пересекаются в точке B, являющейся серединой каждого из них. докажите что треугольники ABC и EBD равны
Доказательство по шагам.
Условия: AE и DC пересекаются в точке B, причём B является серединой каждого из отрезков AE и DC. Нужно доказать, что треугольники ABC и EBD равны (конгруэнтны).
- AB = BE, DB = BC.
- Так как B является серединой AE, AB = BE.
- Так как B является серединой DC, DB = BC.
- ∠ABC = ∠EBD.
- Точки A, B, E лежат на одной прямой AE, и B находится между A и E. Значит луч BA и луч BE являются противоположными.
- Точки D, B, C лежат на одной прямой DC, и B между D и C. Значит луч BC и луч BD являются противоположными.
- Поэтому угол между BA и BC равен углу между BE и BD. То есть ∠ABC = ∠EBD.
- Применяем признак равенства треугольников SAS.
- У треугольников ABC и EBD две стороны равны: AB = BE и BC = BD.
- Включённый между ними угл равен: ∠ABC = ∠EBD.
- Следовательно, треугольники ABC и EBD конгруэнтны (по признаку SAS).
- Что в итоге получаем.
- Соответствующие стороны и углы совпадают: AB ↔ BE, BC ↔ BD, ∠ABC ↔ ∠EBD, а значит AC = ED и ∠ACB = ∠EDB, ∠CAB = ∠BED и т.д.
Дополнительная интуиция: аналогия с вращением на 180° вокруг точки B. При таком повороте A соприкасается с E, C с D, поэтому треугольники ABC и EBD переходят друг в друга, что тоже объясняет их равенство.
