На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек: А(-3;5) и В(6;4)
Задача: найти точку на оси ординат (то есть с координатами (0, y)), которая равноудалена от точек A(-3, 5) и B(6, 4).
- Обозначим точку на оси ординат как P = (0, y).
- Равенство расстояний: PA = PB √[(0 - (-3))^2 + (y - 5)^2] = √[(0 - 6)^2 + (y - 4)^2] После возведения в квадрат получаем: 9 + (y - 5)^2 = 36 + (y - 4)^2
- Приведём подобные члены: (y - 5)^2 - (y - 4)^2 = 27 Применим разность квадратов: (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b), где a = y - 5, b = y - 4. a - b = (y - 5) - (y - 4) = -1 a + b = (y - 5) + (y - 4) = 2y - 9 Следовательно: (-1)(2y - 9) = 27 -2y + 9 = 27 -2y = 18 y = -9
- Следовательно, требуемая точка: P = (0, -9).
Проверка: PA^2 = 9 + (-9 - 5)^2 = 9 + 196 = 205 PB^2 = 36 + (-9 - 4)^2 = 36 + 169 = 205 both равно, значит точка найдена верно.
Дополнительный геометрический подход (на заметку):
- Локус точек, равноудалённых от A и B, — это перпендикулярная бисектриса отрезка AB.
- Найдём её пересечение с осью OY: найдём уравнение бисектрисы и подставим x = 0, получим ту же точку y = -9.
Обсуждение
2 сообщениякак оформить это в тетради?
Вот как можно оформить решение данной задачи в тетради:
Задача: Найти точку на оси ординат, равноудаленную от точек A(-3; 5) и B(6; 4).
Решение:
Обозначим точку на оси ординат как \( P(0, y) \).
Составим уравнение для равноудаленности: \[ PA = PB \] где \( PA = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (y - 5)^2} \) и \( PB = \sqrt{(0 - 6)^2 + (y - 4)^2} \).
Установим равенство расстояний и уберем корни (возведем в квадрат): \[ (0 + 3)^2 + (y - 5)^2 = (0 - 6)^2 + (y - 4)^2 \] \[ 9 + (y - 5)^2 = 36 + (y - 4)^2 \]
Раскроем скобки: \[ 9 + (y^2 - 10y + 25) = 36 + (y^2 - 8y + 16) \] \[ 34 - 10y = 52 - 8y \]
Переносим все члены на одну сторону: \[ -10y + 8y = 52 - 34 \] \[ -2y = 18 \quad \Rightarrow \quad y = -9 \]
Таким образом, точка равноудаленная от A и B: \[ P(0, -9). \]
Проверка: \[ PA^2 = 9 + (-9 - 5)^2 = 9 + 196 = 205, \] \[ PB^2 = 36 + (-9 - 4)^2 = 36 + 169 = 205. \] Так как \( PA^2 = PB^2 \), то P(0, -9) действительно равноудалена от A и B.
Можно выделить ключевые моменты, использовать разные цвета для формул и текста, чтобы сделать решение более наглядным.
