Доказать один любой признак параллелограмма

Вот детальное доказательство одного из признаков параллелограмма: признак по биссекции диагоналей (если диагонали пересекаются в серединах, то четырехугольник — параллелограмм). Пусть ABCD — произвольный четырехугольник. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O и являются бисектрисами соответствующих диагоналей: AO = OC и BO = OD. Тогда ABCD — параллелограмм. Доказательство по шагам: 1) Рассмотрим треугольники AOB и COD. - AO = OC (дано: диагонали AC делят друг друга пополам). - BO = OD (дано: диагонали BD делят друг друга пополам). - ∠AOB и ∠COD — вертикальные углы (они образованы пересечениями двух пересекающихся линий AO–CO и BO–DO), поэтому равны. 2) По признаку SAS (две стороны и включённый между ними угол) треугольники AOB и COD равны. - AO = OC - BO = OD - ∠AOB = ∠COD Следовательно, треугольники AOB и COD конгруэнтны. 3) Из конгруэнтности треугольников AOB и COD вытекают соответствующие углы: - ∠ABO = ∠CDO (соответствующие углы). Поскольку BO и DO лежат на одной прямой BD, полученное равенство углов ∠ABO и ∠CDO означает, что AB и CD образуют одинаковые углы с одной и той же прямой BD. Следовательно, AB ∥ CD. 4) Аналогично рассмотрим треугольники BOC и AOD. - BO = OD (дано) - CO = OA (дано) - ∠BOC и ∠AOD — вертикальные углы, следовательно, равны. По SAS треугольники BOC и AOD конгруэнтны, значит: - ∠BCO = ∠DAO. CO и AO лежат на одной прямой AC, поэтому углы ∠BCO и ∠DAO равны, что даёт BC ∥ AD. 5) Имея обе пары противоположных сторон параллельны: - AB ∥ CD - BC ∥ AD Получаем, что ABCD — параллелограмм по определению. Итого: если диагонали квадрилатерала пересекаются в их серединах (AO = OC и BO = OD), то этот четырехугольник является параллелограммом. Дополнительно: - Обратное утверждение тоже верно: в параллелограмме диагонали пересекаются в серединах. - Если хочешь, могу привести ещё один признак параллелограмма и доказательство к нему (например, по равенству противоположных сторон или по равенству параллельных углов).