Постройте график функции y=x^2-2|x|-x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком не менее одной, но не более трех общих точек

График функции можно разложить поодельно по учёту модуля. - Для x ≥ 0: |x| = x, поэтому y = x^2 - 2x - x = x^2 - 3x. Это парабола с ветвью вверх, вершина в точке x = 3/2, y = -9/4. Точка пересечения с осью x (x=0) — в точке (0,0). - Для x < 0: |x| = -x, поэтому y = x^2 + 2x - x = x^2 + x. Это парабола с ветвью вверх, вершина в точке x = -1/2, y = -1/4. В точке пересечения графика с линией x=0 снова (0,0). Итак, график состоит из двух парабол: - справа от нуля: y = x^2 - 3x (мин. -9/4 в точке (3/2, -9/4)); - слева от нуля: y = x^2 + x (мин. -1/4 в точке (-1/2, -1/4)); они встречаются в точке (0,0). Теперь ищем пересечения с прямой y = m. Решаем f(x) = m по частям: - для x ≥ 0: x^2 - 3x = m → D1 = 9 + 4m. Корни x = (3 ± √(9+4m))/2, но должны удовлетворять x ≥ 0. - для x < 0: x^2 + x = m → D2 = 1 + 4m. Корни x = (-1 ± √(1+4m))/2, но должны удовлетворять x < 0. Число общих точек N(m) зависит от m: - m < -9/4: N = 0 - m = -9/4: N = 1 (касательная точка на правой ветви, x = 3/2) - -9/4 < m < -1/4: N = 2 (две точки на правой ветви) - m = -1/4: N = 3 (две точки на правой ветви и касание левой ветви в вершине (-1/2, -1/4)) - -1/4 < m < 0: N = 4 (две точки на каждой ветви) - m = 0: N = 3 (точки x = -1, 0 и 3) - m > 0: N = 2 (по одной точке на каждой ветви) Следовательно, прямая y = m имеет не менее одной и не более трёх общих точек тогда и только когда m принадлежит: m ∈ [ -9/4, -1/4 ] ∪ [ 0, ∞ ). Кратко: - на отрезке [-9/4, -1/4] число пересечений от 1 до 3 (для -9/4 и -1/4 специфически: при -9/4 — одно касание, при -1/4 — три точки); - на m > 0 пересечения две; - на m < -9/4 или на (-1/4, 0) пересечений больше 3 или ноль соответственно (для (-1/4, 0) их как раз 4).