Диагонали параллелограмма MNPQ пересекаются в точке 0. Выразите через векторы = MN и b = MQ векторы: 1. QO - OM; 2. QP - NP. Дано, решение, чертеж и ответ

Задача: параллелограмм MNPQ, диагонали пересекаются в точке O (O — середина обеих диагоналей). Пусть a = MN и b = MQ. Нужно выразить через a и b векторы QO − OM и QP − NP.

Пошаговое решение

1. Свойства параллелограмма

• Диагонали MP и NQ пересекаются в их середине, поэтому O — середина MP и также середина NQ.
• Обозначим векторные позиции вершин относительно точки O (O = 0 для удобства): m = OM, n = ON, q = OQ, p = OP.
• Так как O — середина MP и NQ, имеем p = −m и q = −n.
• Векторы сторон заданы как:
  • a = MN = n − m
  • b = MQ = q − m

2. Выражение переменных через a и b

• Из a = n − m получаем n = m + a.
• Из b = q − m и q = −n получается b = −n − m. Подставляя n = m + a: b = −(m + a) − m = −2m − a. Отсюда 2m = −a − b, следовательно m = −(a + b)/2.
• Тогда n = m + a = −(a + b)/2 + a = (a − b)/2.
• q = −n = (b − a)/2.
• p = −m = (a + b)/2.

3. Выражение требуемых векторов

• QO − OM: O — это ноль, поэтому OM = m, QO = −q. Следовательно QO − OM = (−q) − m = −(q + m). Подставляя q = (b − a)/2 и m = −(a + b)/2: q + m = (b − a)/2 − (a + b)/2 = (−2a)/2 = −a, значит QO − OM = −(−a) = a = MN.
• QP − NP: QP = P − Q, NP = P − N. Разность: QP − NP = (P − Q) − (P − N) = −Q + N = N − Q. Подставляя N = (a − b)/2, Q = (b − a)/2: N − Q = (a − b)/2 − (b − a)/2 = (a − b − b + a)/2 = (2a − 2b)/2 = a − b. Таким образом QP − NP = a − b = MN − MQ.

Итог

• 1. QO − OM = MN = a
• 2. QP − NP = MN − MQ = a − b

Если удобно, можно проверить на конкретном примере: подставив конкретные векторы a и b и получив m, n, q, p, убедиться, что формулы выполняются.