Приведи примеры интегралов

Ниже приведены примеры интегралов разных типов с пошаговым разбором. Это поможет понять, какие методы применяются в разных ситуациях (замена переменной, интеграция по частям, разложение на частные дроби и т. д.). 1) Неопределённый интеграл простого типа - Пример: ∫ x^2 dx - Решение: - Анти-derиватив: к степени прибавляем 1 и делим на новую степень. - ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, для n ≠ -1. - Здесь: ∫ x^2 dx = x^3/3 + C. - Ответ: x^3/3 + C. 2) Неопределённый интеграл с экспонентой - Пример: ∫ e^x dx - Решение: - Производная e^x равна e^x, значит её анти derivative тоже e^x. - ∫ e^x dx = e^x + C. - Ответ: e^x + C. 3) Неопределённый интеграл с триггером - Пример: ∫ sin x dx - Решение: - Производная косинуса: d/dx(-cos x) = sin x. - ∫ sin x dx = -cos x + C. - Ответ: -cos x + C. 4) Логарифмический интеграл - Пример: ∫ (1/x) dx - Решение: - Производная ln|x| равна 1/x (для x ≠ 0). - ∫ (1/x) dx = ln|x| + C. - Ответ: ln|x| + C. 5) Замена переменной (u-substitution) - Пример: ∫ 2x cos(x^2) dx - Решение: - Пусть u = x^2, тогда du = 2x dx. - Интеграл превращается в ∫ cos(u) du. - ∫ cos(u) du = sin(u) + C, вернувшись к x: sin(x^2) + C. - Ответ: sin(x^2) + C. 6) Интеграция по частям - Пример: ∫ x e^x dx - Решение: - Выбираем: u = x, dv = e^x dx. Тогда du = dx, v = e^x. - ∫ u dv = u v - ∫ v du = x e^x - ∫ e^x dx. - Уже знаем ∫ e^x dx = e^x + C, поэтому итог: x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C. - Ответ: e^x(x - 1) + C. 7) Разложение на частные дроби - Пример: ∫ (2x + 3)/(x^2 + 3x + 2) dx - Решение: - Разложим знаменатель: x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2). - Рассматриваем: (2x + 3)/[(x+1)(x+2)] = A/(x+1) + B/(x+2). - Приводим к общему знаменателю и сравниваем коэффициенты: 2x + 3 = A(x+2) + B(x+1) = (A + B)x + (2A + B). - Система: A + B = 2; 2A + B = 3. Отсюда A = 1, B = 1. - Значит ∫ (2x+3)/(x^2+3x+2) dx = ∫ [1/(x+1) + 1/(x+2)] dx. - Интегрируем: ln|x+1| + ln|x+2| + C = ln|(x+1)(x+2)| + C. - Ответ: ln|(x+1)(x+2)| + C. 8) Определённый интеграл (простая сумма площадей) - Пример: ∫_0^1 x^2 dx - Решение: - Анти derivative: x^3/3. Оцениваем на границах: (1^3)/3 - (0^3)/3 = 1/3. - Ответ: 1/3. 9) Определённый интеграл с тригонометрией - Пример: ∫_0^{π/2} sin^2 x dx - Решение: - Используем тождество sin^2 x = (1 - cos 2x)/2. - Інтегрируем: ∫_0^{π/2} (1/2) dx - ∫_0^{π/2} (cos 2x)/2 dx. - Результат: (1/2)[x]_0^{π/2} - (1/4)[sin 2x]_0^{π/2} = (1/2)(π/2) - 0 = π/4. - Ответ: π/4. 10) Интеграл с арктангенсом - Пример: ∫ dx/(1 + x^2) - Решение: - Производная arctan x равна 1/(1+x^2). - ∫ dx/(1+x^2) = arctan x + C. - Ответ: arctan x + C. 11) Пример несобственного интеграла - Пример: ∫_1^∞ dx/x^2 - Решение: - Анти derivative: ∫ x^(-2) dx = -1/x + C. - Применяем предел: lim t→∞ [-1/x]_{1}^{t} = lim t→∞ (-1/t) - (-1/1) = 0 + 1 = 1. - Ответ: 1. 12) Дополнительный пример с более сложной формы (по желанию) - Пример: ∫ sqrt(1 - x^2) dx - Коротко: это классический интеграл, который даёт площадь четверти круга. Часто решается тригонометрической подстановкой x = sin θ или x = cos θ. Итоговая форма зависит от конкретной подстановки и может выглядеть так: (x/2) sqrt(1 - x^2) + (1/2) arcsin x + C. - Примечание: такой пример демонстрирует, как работают подстановки и работа с корнями. Если нужно, могу разобрать пошагово. Итоги - Интегралы бывают разными: простые антидериватиы, замены переменных, частные дроби, интеграция по частям, определённые и несобственные пределы. - В каждом примере видно, какой метод применяют и как получают ответ. - Если хочешь, могу подобрать примеры под конкретный курс или уровень сложности (например, больше по частным дробям или больше по методам подстановки).