Через вершину C прямоугольника ABCD проведена прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая прямую AB в точке M. Через точку M проведена прямая, параллельная диагонали AC и…
Через вершину C прямоугольника ABCD проведена прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая прямую AB в точке M. Через точку M проведена прямая, параллельная диагонали AC и пересекающая прямую BC в точке N. Найдите периметр четырехугольника ACMN, если диагональ BD равна 8 см.
Задача по геометрии для 8 класса. Решение с шагами.
Дано: прямоугольник ABCD, диагональ BD = 8 см. Через вершину C проведена прямая параллельная BD, пересекающая прямую AB в точке M. Через точку M проведена прямая параллельная AC, пересекающая прямую BC в точке N. Найдите периметр ACMN.
- Замечание про диагонали
- В прямоугольнике диагонали равны: AC = BD.
- Значит AC = 8 см.
Выбор координат Пусть A = (0, 0), B = (a, 0), C = (a, b), D = (0, b). Тогда AB = a, BC = b, а диагональ BD имеет длину sqrt(a^2 + b^2) = 8, следовательно a^2 + b^2 = 64.
Точка M Прямая через C, параллельная BD, имеет направление вдоль BD, следовательно ∝ по вектору (-a, b). Пересечение с линией AB (y = 0) даёт координату M:
- уравнение прямой через C: y - b = (-b/a)(x - a). При y = 0 получаем x = 2a. Значит M = (2a, 0).
- Точка N Через M проведена прямая, параллельная AC (направление вдоль (a, b)). Её пересечение с BC (x = a) даёт N:
- линейное уравнение через M: y - 0 = (b/a)(x - 2a). При x = a получаем y = -b. Значит N = (a, -b).
- Длины сторон ACMN Стороны квадрилатера ACMN поочерёдно: AC, CM, MN, NA.
- AC: расстояние между A(0,0) и C(a,b) = sqrt(a^2 + b^2) = 8.
- CM: расстояние между C(a,b) и M(2a,0) = sqrt((2a - a)^2 + (0 - b)^2) = sqrt(a^2 + b^2) = 8.
- MN: расстояние между M(2a,0) и N(a,-b) = sqrt((2a - a)^2 + (0 - (-b))^2) = sqrt(a^2 + b^2) = 8.
- AN: расстояние между A(0,0) и N(a,-b) = sqrt(a^2 + b^2) = 8.
Итак, все четыре стороны равны 8 см; ACMN — равнобедренная ромбоподобная фигура (на самом деле ромб).
- Периметр P_ACMN = 4 × 8 = 32 см.
Ответ: 32 см.
