х^3-64=0

Разберём задачу по шагам и поясним каждый шаг, чтобы было понятно.

Задача: x^3 − 64 = 0

1. Узнаем форму 64 можно записать как 4^3, то уравнение имеет вид разности кубов: x^3 − 4^3.

2. Факторизация Используем формулу разности кубов: a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2).

И тут a = x, b = 4. Получаем: x^3 − 64 = (x − 4)(x^2 + 4x + 16).

3. Решение первого множителя (x − 4) = 0 → x = 4.

4. Решение квадратного множителя Рассматриваем x^2 + 4x + 16 = 0. Дискриминант D = 4^2 − 4·1·16 = 16 − 64 = −48.

Так как D < 0, квадратное уравнение не имеет вещественных корней, но имеет комплексные корни: x = [−4 ± sqrt(−48)]/2 = −2 ± sqrt(48)/2.

Упростим sqrt(−48) = sqrt(48) · i = 4√3 · i, значит: x = −2 ± 2√3 i.

5. Итог

• Действительный корень: x = 4.
• Два комплексных корня: x = −2 + 2√3 i и x = −2 − 2√3 i.

Проверка (для уверенности): Подставим x = 4: 4^3 − 64 = 64 − 64 = 0, значит верно.

Если нужен только реальный корень, достаточно x = 4. Если важны все корни (включая комплексные), перечислены три корня выше.