решить с помощью правила лопиталя

Задача: решить предел с помощью правила Лопиталя lim_{x -> π/2} [ x / ctg x – π / (2 cos x) ]

1. Приведем выражение к общей дроби

• ctg x = cos x / sin x, значит x / ctg x = x tan x = x sin x / cos x.
• Оба слагаемых имеют знаменатель cos x, поэтому: x / ctg x – π / (2 cos x) = ( x sin x / cos x ) – ( π / (2 cos x) ) = [ x sin x – π/2 ] / cos x.

Предел имеет вид 0/0 при x → π/2, так как sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0, а числитель → (π/2)*1 – π/2 = 0. Значит можно применить правило Лопиталя.

2. Применим Лопиталя

• Производная числителя: d/dx [ x sin x – π/2 ] = sin x + x cos x.
• Производная знаменателя: d/dx [ cos x ] = – sin x.

Тогда предел равен lim_{x→π/2} [ sin x + x cos x ] / [ – sin x ].

3. Вычисление sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0, поэтому lim = – [ 1 + (π/2)·0 ] / 1 = –1.

Ответ: -1.