корень из 3х+1/х-1 - корень из х-1/3х+1 =3/2

Задача решается при предположении, что имеется уравнение √((3x+1)/(x-1)) − √((x-1)/(3x+1)) = 3/2.

1. Границы и область допустимых значений

• Чтобы корни были реальными, нужно, чтобы (3x+1)/(x-1) ≥ 0 и (x-1)/(3x+1) ≥ 0.
• Это выполняется при x > 1. Следовательно, ищем решения в x > 1. Проверяем далее.

2. Замена переменных Положим:

• a = √((3x+1)/(x-1))
• b = √((x-1)/(3x+1))

Тогда:

• a − b = 3/2 (условие задачи)
• ab = √(((3x+1)(x-1))/((x-1)(3x+1))) = √(1) = 1

3. Решение для a и b Из a − b = 3/2 следует a = b + 3/2. Тогда ab = 1 даёт: (b + 3/2) · b = 1 b^2 + (3/2)b − 1 = 0

Умножим на 2: 2b^2 + 3b − 2 = 0

Решение квадратного уравнения: D = 3^2 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25 b = [−3 ± √25]/(2·2) = (−3 ± 5)/4

Два корня: b = 1/2 или b = −2. Так как b = √(...) ≥ 0, выбираем b = 1/2. Тогда a = b + 3/2 = 1/2 + 3/2 = 2.

4. Поиск x Из a^2 = (3x+1)/(x-1) = 4. 3x + 1 = 4x − 4 5 = x

5. Проверка x = 5 удовлетворяет условию области x > 1. Компоненты:

• √((3x+1)/(x-1)) = √((15+1)/(5−1)) = √(16/4) = 2
• √((x-1)/(3x+1)) = √((5−1)/(15+1)) = √(4/16) = 1/2 Разность = 2 − 1/2 = 3/2, что совпадает с правой частью.

Ответ: x = 5. (Является единственным решением на области x > 1.)