Условная вероятность события A при условии события B (обозначается как P(A|B)) — это вероятность того, что событие A случится при условии того, что событие B уже случилось.…
Условная вероятность события A при условии события B (обозначается как P(A|B)) — это вероятность того, что событие A случится при условии того, что событие B уже случилось. Например, если событие A — это «на улице идёт дождь», событие B это «на улице светит солнце», то событие A∩B это «на улице идёт дождь и светит солнце» = «на улице можно увидеть радугу». Условной вероятностью события A при условии события B будет вероятность увидеть радугу при условии того, что на улице светит солнце. Для подсчёта условной вероятности есть следующая формула: P(A∣B)=P(A∩B)P(B), где P(T) вероятность события TT, A∩B это вероятность того, что случились оба события и A, и B одновременно. Аналитику Паше для построения одной модели поручили узнать о связи между скоростью и выносливостью бегунов. Паша собрал информацию о NN бегунах, среди которых MM быстрых, KK выносливых. Какая вероятность больше: быть быстрым при условии того, что ты выносливый, или быть выносливым при условии того, что ты быстрый? Гарантируется, что среди его знакомых есть хотя бы один и быстрый, и выносливый бегун.
Задача сводится к сравнению двух условных вероятностей для событий F = «быстрый» и E = «выносливый».
Дано:
- в группе N человек M быстрых и K выносливых;
- существует хотя бы один человек, который и быстрый, и выносливый (то есть пересечение F ∩ E непусто).
Обозначим x = число людей, которые и быстрые, и выносливые (то есть |F ∩ E| = x, с 1 ≤ x ≤ min(M, K)).
Тогда:
- P(F|E) = P(F ∩ E) / P(E) = (x/N) / (K/N) = x/K
- P(E|F) = P(F ∩ E) / P(F) = (x/N) / (M/N) = x/M
Сравнение: P(F|E) и P(E|F) зависят от отношения x/K и x/M. Так как x > 0, получаем: P(F|E) > P(E|F) тогда, когда M > K; P(F|E) < P(E|F) тогда, когда M < K; P(F|E) = P(E|F) тогда, когда M = K.
Итак:
- если число быстрых M больше числа выносливых K, то вероятность быть быстрым при условии того, что ты выносливый, больше, чем вероятность быть выносливым при условии того, что ты быстрый;
- если M меньше K — наоборот;
- если M равно K — вероятности равны.
Пример для иллюстрации: Пусть N = 100, M = 60, K = 40, и пусть x = 20 (есть 20 человек, иFast и E). Тогда:
- P(F|E) = x/K = 20/40 = 0.5
- P(E|F) = x/M = 20/60 ≈ 0.333 Так как M > K, P(F|E) > P(E|F), что согласуется с выводом.
Важно: вывод зависит от относительных размеров M и K и от того, что существует хотя бы один общий быстрый и выносливый бегун (x > 0).
