Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке о угол abo равен 36°. найдите угол aod

Решение по шагам. Дано: диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Угол ABO равен 36°. Найти угол AOD. 1) Обозначения и первая связь - Пусть AB = w (ширина), BC = h (высота). - Точка O — середина обеих диагоналей. - Рассмотрим угол ABO (вершина B). Вектор BO направлен к середине диагонали BD, а BA направлена вдоль стороны AB. - В треугольнике BAO угол ABO равен углу между линией BA (горизонталь, направленная влево от B) и диагональю BD (через B к O). Относительно горизонтали наклон BO равен h/(w). Следовательно: tan∠ABO = h/w. - Дано ∠ABO = 36°, значит h/w = tan 36°. 2) Угол между диагоналями OA и OD - OA идёт по диагонали AC, OD идёт по диагонали BD. В лучших координатах можно увидеть, что slopes OA и OD равны: slope(OA) = h/w, slope(OD) = −h/w. - Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами m1 и m2 равен: tan∠AOD = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|. Подставим m1 = h/w и m2 = −h/w: tan∠AOD = |(−h/w − h/w) / (1 − (h/w)^2)| = (2(h/w)) / (1 − (h/w)^2). - Обозначив t = h/w = tan 36°, имеем: tan∠AOD = 2t / (1 − t^2). - Но формула tan(2α) = 2 tan α / (1 − tan^2 α). Значит: ∠AOD = 2 arctan(t) = 2 ∠ABO = 2 · 36° = 72°. Ответ: ∠AOD = 72°.