диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке о угол abo равен 36°. найдите угол aod

Решение по шагам.

Дано: диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Угол ABO равен 36°. Найти угол AOD.

1. Обозначения и первая связь

• Пусть AB = w (ширина), BC = h (высота).
• Точка O — середина обеих диагоналей.
• Рассмотрим угол ABO (вершина B). Вектор BO направлен к середине диагонали BD, а BA направлена вдоль стороны AB.
• В треугольнике BAO угол ABO равен углу между линией BA (горизонталь, направленная влево от B) и диагональю BD (через B к O). Относительно горизонтали наклон BO равен h/(w). Следовательно: tan∠ABO = h/w.
• Дано ∠ABO = 36°, значит h/w = tan 36°.

2. Угол между диагоналями OA и OD

• OA идёт по диагонали AC, OD идёт по диагонали BD. В лучших координатах можно увидеть, что slopes OA и OD равны: slope(OA) = h/w, slope(OD) = −h/w.
• Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами m1 и m2 равен: tan∠AOD = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|. Подставим m1 = h/w и m2 = −h/w: tan∠AOD = |(−h/w − h/w) / (1 − (h/w)^2)| = (2(h/w)) / (1 − (h/w)^2).
• Обозначив t = h/w = tan 36°, имеем: tan∠AOD = 2t / (1 − t^2).
• Но формула tan(2α) = 2 tan α / (1 − tan^2 α). Значит: ∠AOD = 2 arctan(t) = 2 ∠ABO = 2 · 36° = 72°.

Ответ: ∠AOD = 72°.