Задача Задача №3481814
А
А
Переведи в тригонометрическую функцию пример z=-7√3 + 7i с чертежом и не используя в решение число π
Задача: z = -7√3 + 7i перевести в тригонометрическую форму и дать чертеж (без uso π).
Пошаговое решение
- Найдем модуль r:
- x = -7√3, y = 7
- r = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt((-7√3)^2 + 7^2) = sqrt(49·3 + 49) = sqrt(196) = 14
- Найдем аргумент θ (угол, который образует вектор z с положительным направлением оси Re):
- Знак x отрицательный, y положительный → вторая четверть.
- Относительный угол α (между OP и осью Re) задаётся tan α = |y/x| = 7 / (7√3) = 1/√3.
- Значение α = 30°.
- Полный угол θ вторая четверть: θ = 180° - α = 180° - 30° = 150°.
- Тригонометрическая форма:
- z = r ( cos θ + i sin θ ) = 14 ( cos 150° + i sin 150° ).
- Можно сразу подставить значения косинуса и синуса: cos 150° = -√3/2, sin 150° = 1/2.
- Тогда z = 14 ( -√3/2 + i · 1/2 ) = -7√3 + 7i (что и дано).
Ответ
- Тригонометрическая форма: z = 14 ( cos 150° + i sin 150° ).
- Альтернатива: z = 14 cis 150°.
- Проверка: это действительно равно -7√3 + 7i.
Чертеж (описание для построения в плоскости)
- Нарисуйте комплексную плоскость: горизонтальная ось Re, вертикальная ось Im.
- Отметьте точку P с координатами (-7√3, 7). Это примерно (-12.12, 7), она в II четверти.
- Соедините O (начало координат) с точкой P – образуется вектор OP.
- Угол θ между лучом OP и положительным направлением оси Re равен 150° (то есть 30° над отрицательной осью Re влево, считая против часовой стрелки).
- Модуль OP равен r = 14.
- Связь тригонометрической формы с точкой: x = r cos θ = 14 cos 150° = -7√3, y = r sin θ = 14 sin 150° = 7.
Ключевые числовые факты
- r = 14
- θ = 150°
- cos 150° = -√3/2, sin 150° = 1/2
- z = 14 ( cos 150° + i sin 150° ) = -7√3 + 7i
Если нужен другой формат чертежа (например, простая ASCII-схема), могу нарисовать более наглядно в текстовом виде.
Обсуждение
2 сообщения А
давай
Вот простая ASCII-схема, показывающая расположение комплексного числа \( z = -7\sqrt{3} + 7i \) в комплексной плоскости:
Im
|
|
7 | • P (-7√3, 7)
|
|
|
|
|
----------------------------- Re
-7√3 (-12.12)
Описание:
- Вертикальная ось – это ось мнимых чисел (Im).
- Горизонтальная ось – это ось действительных чисел (Re).
- Точка \( P (-7\sqrt{3}, 7) \) находится во второй четверти, размещена выше оси Re на 7 единиц и влево на примерно 12.12 единиц.
- Линия от начала координат \( O(0, 0) \) до точки \( P \) представляет вектор, который показывает направление комплексного числа.
Угол:
- Угол \( θ = 150° \), который образует вектор с положительным направлением оси действительных чисел.
Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная информация, дайте знать!
