Обыкновенную симметричную монету у которой на одной стране изображен на другой сторона орешка бросили шесть раз все шесть раз эта монета выпала орлом какое утверждение или какие…
Обыкновенную симметричную монету у которой на одной стране изображен на другой сторона орешка бросили шесть раз все шесть раз эта монета выпала орлом какое утверждение или какие из утверждений верны а) В следующий раз более вероятно, что выпадет орёл, чем решка. б) В следующий раз более вероятно, что выпадет решка. в) В следующий раз орёл и решка могут выпасть с равными шансами. г) Седьмой раз подряд орёл выпасть не может. 187 д) При седьмом броске тоже выпадет орёл. Для правильной монеты мы полагаем, что вероятность выпадения орла равна 0,5. Разумно ли ожидать, что при 100 бросаниях монеты орёл выпадет: а) 5 раз; б) 49 раз; 188 в) 90 раз? Подбросьте монету 10 раз. Удалось ли вам с первой попытки выбросить десять 189 орлов? Как вы думаете, можно ли считать такое событие маловероятным? Бросьте игральную кость 6 раз. Выпало ли шесть шестёрок? Можно ли считать такое событие маловероятным? 190 Вероятность выпадения шестёрки на правильной кости равна Одной шестой. Сколько раз, по вашему мнению, следует ожидать выпадение шестёрки при 600 бросаниях кости? 191 Игральную кость бросают 6 раз. Является ли, по вашему мнению, маловероятным случайное событие: а) шестёрка не выпадет ни разу; б) какая-то грань выпала более одного раза? 192 Правильную игральную кость бросили 6 раз. Оказалось, что единица выпала дважды. Означает ли это, что какое-то число очков не выпало ни разу? 193 В тесте по биологии 16 задач с выбором ответа из четырёх предложенных ва-риантов. Верный вариант только один. Тройку ставят за 4 правильных отве-та, четвёрку - за 12, а пятёрку - за 15 правильных ответов. Вася не готов к тесту и выбирает ответы наудачу. Разумно ли ожидать, что Вася получит: а) отметку «3»; б) отметку «4»; в) отметку «б»?
Ниже по пунктам даны ответы и короткие justification к каждому вопросу.
187
- а) Неверно. Следующий бросок независим от предыдущих; вероятность орла 0,5 и решки 0,5.
- б) Неверно.
- в) Верно. Для честной монеты вероятность орла и решки равны.
- г) Неверно. Седьмой раз подряд орёл возможен (although маловероятно).
Ответ: верно только пункт в).
188
- Для справки: при 100 бросках орёл ожидается 50 раз; дисперсия Var = npq = 100·0.5·0.5 = 25; стандартное отклонение σ = 5.
- а) 5 раз: крайне маловероятно (здесь отклонение ~9σ).
- б) 49 раз: разумно ожидать вокруг 50; 49 входит в обычное колебание (примерно на 1 σ от среднего).
- в) 90 раз: крайне маловероятно (около 8 σ).
Ответ: а) нет; б) да; в) нет.
189
- Вероятность того, что при 10 независимых бросках монеты выпадут орлы во всех 10 попытках: (1/2)^10 = 1/1024 ≈ 0,0976%.
- Это очень редкое событие, но не невозможное. Да, можно считать маловероятным.
190
- Ожидание числа шестерок за 600 бросаний: 600·(1/6) = 100.
- Можно добавить, что стандартная ошибка ≈ sqrt(600·1/6·5/6) ≈ 9,1.
Ответ: 100 шестерок.
191
- а) Вероятность того, что ни разу не выпадет шестерка за 6 бросков: (5/6)^6 ≈ 0,3349. Это не маловероятно.
- б) Вероятность, что какая-то грань выпала более одного раза: 1 - (6!/6^6) ≈ 1 - 720/46656 ≈ 0,9846. Это крайне вероятное событие.
- Оба пункта не считаютcя маловероятными.
192
- Единица выпала дважды. Это значит, что в сумме по всем 6 броскам ровно 2 раза выпало «1», а остальные 4 броска дали другие цифры.
- По крайней мере одна лишняя цифра обязательно не выпала: если одна цифра встречалась дважды, то по-шляющим принципом по меньшей мере одна другая цифра не выпала вовсе.
Ответ: да, это означает, что какая-то цифра очков не выпала ни разу.
193
- В тесте 16 вопросов, 4 варианта ответа. Верный вариант один. Баллы: за 4 правильных дают 3 балла; за 12 правильных — 4 балла; за 15 правильных — 5 баллов.
- Распределение числа верных X ~ Binomial(n=16, p=0.25).
- Вероятность получить ровно 4 правильных (соответствует отметке 3): P(X=4) = C(16,4)(0.25)^4(0.75)^12 ≈ 0.226 (≈22,6%).
- Вероятность получить ровно 12 правильных (соответствует отметке 4): P(X=12) = C(16,12)(0.25)^12(0.75)^4 ≈ 3.4×10^-5 (≈0.0034%).
- Вероятность получить ровно 15 правильных (соответствует отметке 5): P(X=15) = C(16,15)(0.25)^15(0.75)^1 ≈ 1.1×10^-8 (≈0.0000011%).
Вывод: разумно ожидать в основном отметку 3 (примерно 22,6% вероятности). Отметки 4 и 5 почти не выпадают (вероятности порядка 10^-4 и 10^-8 соответственно).
Если нужно, могу привести более подробные расчёты по каждому пункту или дополнить примерами.
