перпендикуляр который проведён из вершины прямоугольник к его диагонали делит прямой угол в отношении 10 :5 вычисли острый угол между диагоналями прямоугольника

Задача: из вершины прямоугольника проведена прямая, перпендикулярная его диагонали. Эта прямая делит прямой угол при этой вершине в отношении 10:5. Найти острый угол между диагоналями прямоугольника.

План решения (для 8-го класса, понятно и пошагово):

• Обозначим стороны прямоугольника: AB по x-осью (длина a) и AD по y-осью (длина b). Пусть вершина A — начало координат (0,0), противоположный угол C — (a, b).

• Диагональ AC образует угол φ с AB, где tan φ = b / a.

• Прямая, перпендикулярная диагонали AC, через вершину A, образует с AB угол 90° − φ, а с AD угол φ. (Потому что угол между двумя перпендикулярными линиями суммируется до 90°.)

• Условия задачи говорят: прямая делит угол A в отношении 10:5, то есть на два угла 60° и 30°. Это значит, пары угловметражи φ и 90° − φ должны быть в отношении 2:1, то есть φ : (90 − φ) = 2 : 1. Решаем: φ = 2(90 − φ) → φ = 180 − 2φ → 3φ = 180 → φ = 60°. Соответственно 90° − φ = 30°.

• Следовательно, tan φ = tan 60° = √3, значит b / a = √3.

• Угол между диагоналями прямоугольника AC и BD можно найти по формуле для угла между двумя прямыми с угловыми коэффициентами m1 = b/a и m2 = −b/a: tan θ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)| = |(−b/a − b/a) / (1 + (b/a)(−b/a))| = (2(b/a)) / |1 − (b/a)^2|. При b/a = √3 получаем tan θ = (2√3) / |1 − 3| = (2√3) / 2 = √3. Значит θ = 60° или θ = 120°. Острый угол между диагоналями равен 60°.

Ответ: 60°.