Докажите что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом если его противоположные углы попарнол равны
Задача: Пусть выпуклый четырехугольник ABCD имеет попарно равные противоположные углы: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Докажите, что он является параллелограммом.
Детальное решение
- Обозначим углы
- Пусть α = ∠A = ∠DAB.
- Пусть β = ∠B = ∠ABC. Тогда по данным условиям:
- ∠C = ∠A = α.
- ∠D = ∠B = β.
Сумма углов квадрилатера Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна 360 градусам: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360. Подставляем данные: α + β + α + β = 360, 2α + 2β = 360, α + β = 180.
Доказательство параллельности AD ∥ BC Посмотрим на угол между линиями AD и BC. Путь от AD до AB образует угол ∠A = α; путь от AB до BC образует угол ∠B = β. Таким образом, угол между AD и BC равен α + β = 180°. Следовательно, AD и BC параллельны (направления могут быть противоположны, но линии параллельны).
Доказательство параллельности AB ∥ CD Аналогично рассмотрим угол между CD и AB. Путь от CD к CB образует угол ∠DCB = ∠C = α; путь от CB к BA образует угол ∠CBA = ∠B = β. Итак, угол между CD и AB равен α + β = 180°. Значит, AB ∥ CD.
Вывод У нас получилось, что обе пары противоположных сторон параллелны:
- AD ∥ BC
- AB ∥ CD Значит, ABCD — параллелограмм.
Кратко запомнить:
- Из ∠A = ∠C и ∠B = ∠D следует ∠A + ∠B = 180.
- Это даёт AD ∥ BC и AB ∥ CD.
- Все условия параллелограмма выполнены.
