От станций А и В, расстояние между которыми 75 KM. отправились одновременно товарный скорый поезда и встретились через полчаса. Товарный поезд прибыл в В на 25 мин позже, чем…

Задача по движениям с встречей двух поездов.

Дано:

• Расстояние между станциями A и B: 75 км.
• В момент отправления оба поезда движутся навстречу друг другу: товарный и скорый.
• Встреча произошла через 0,5 ч (30 мин).
• После встречи товарный поезд прибыл в B на 25 мин позже, чем скорый в A.
• Скорости: v_f — товарного, v_s — скорого (на практике: v_f и v_p).

1. От встречи до условия по времени

• Пусть суммарная скорость двух поездов: v_f + v_s.
• За время встречи t = 0.5 ч они соединили весь путь между станциями: (v_f + v_s) * 0.5 = 75. Следовательно: v_f + v_s = 150. (Уравнение 1)

2. Условие о времени прибытия на концы

• Каждый поезд, неважно откуда стартовал, должен проехать весь путь AB, значит время в пути для этого поезда до конца пути равно AB / скорость.
• Товарный: время до прибытия в B = 75 / v_f.
• Скорый: время до прибытия в A = 75 / v_s.
• Разница во времени прибытия дана: товарный прибывает на 25 минут позже, чем скорый, т.е. 75 / v_f − 75 / v_s = 25/60 часов. (Уравнение 2)

3. Решение системы Из уравнения 1: v_s = 150 − v_f. Подставим в уравнение 2: 75 / v_f − 75 / (150 − v_f) = 25/60.

Упростим, поделив обе стороны на 75: 1 / v_f − 1 / (150 − v_f) = 1 / 180.

Слева приведём к общему знаменателю: (150 − 2 v_f) / [v_f (150 − v_f)] = 1 / 180.

Перекрестно умножим: 180 (150 − 2 v_f) = v_f (150 − v_f).

Расклади и собери всё в квадратное уравнение: v_f^2 − 510 v_f + 27000 = 0.

Решение: Δ = 510^2 − 4·27000 = 152100, sqrt(Δ) = 390. v_f = [510 ± 390] / 2 → v_f = 60 или v_f = 450. Скорость 450 км/ч не годится для данного расстояния (даёт отрицательную скорость у другого поезда), поэтому берём: v_f = 60 км/ч.

Тогда v_s = 150 − v_f = 90 км/ч.

4. Проверка

• Встреча через 0.5 ч: товарный прошёл 60·0.5 = 30 км, скорый — 90·0.5 = 45 км; вместе 75 км — всё верно.
• Время полного пути: товарный: 75 / 60 = 1.25 ч; скорый: 75 / 90 ≈ 0.833 ч. Разница ≈ 0.417 ч = 25 минут — условие выполняется.

Ответ:

• Скорость товарного поезда: 60 км/ч.
• Скорость скорого поезда: 90 км/ч.