От станций А и В, расстояние между которыми 75 KM. отправились одновременно товарный скорый поезда и встретились через полчаса. Товарный поезд прибыл в В на 25 мин позже, чем скорый в A. Какова скорость каждого поезда?

Задача по движениям с встречей двух поездов. Дано: - Расстояние между станциями A и B: 75 км. - В момент отправления оба поезда движутся навстречу друг другу: товарный и скорый. - Встреча произошла через 0,5 ч (30 мин). - После встречи товарный поезд прибыл в B на 25 мин позже, чем скорый в A. - Скорости: v_f — товарного, v_s — скорого (на практике: v_f и v_p). 1) От встречи до условия по времени - Пусть суммарная скорость двух поездов: v_f + v_s. - За время встречи t = 0.5 ч они соединили весь путь между станциями: (v_f + v_s) * 0.5 = 75. Следовательно: v_f + v_s = 150. (Уравнение 1) 2) Условие о времени прибытия на концы - Каждый поезд, неважно откуда стартовал, должен проехать весь путь AB, значит время в пути для этого поезда до конца пути равно AB / скорость. - Товарный: время до прибытия в B = 75 / v_f. - Скорый: время до прибытия в A = 75 / v_s. - Разница во времени прибытия дана: товарный прибывает на 25 минут позже, чем скорый, т.е. 75 / v_f − 75 / v_s = 25/60 часов. (Уравнение 2) 3) Решение системы Из уравнения 1: v_s = 150 − v_f. Подставим в уравнение 2: 75 / v_f − 75 / (150 − v_f) = 25/60. Упростим, поделив обе стороны на 75: 1 / v_f − 1 / (150 − v_f) = 1 / 180. Слева приведём к общему знаменателю: (150 − 2 v_f) / [v_f (150 − v_f)] = 1 / 180. Перекрестно умножим: 180 (150 − 2 v_f) = v_f (150 − v_f). Расклади и собери всё в квадратное уравнение: v_f^2 − 510 v_f + 27000 = 0. Решение: Δ = 510^2 − 4·27000 = 152100, sqrt(Δ) = 390. v_f = [510 ± 390] / 2 → v_f = 60 или v_f = 450. Скорость 450 км/ч не годится для данного расстояния (даёт отрицательную скорость у другого поезда), поэтому берём: v_f = 60 км/ч. Тогда v_s = 150 − v_f = 90 км/ч. 4) Проверка - Встреча через 0.5 ч: товарный прошёл 60·0.5 = 30 км, скорый — 90·0.5 = 45 км; вместе 75 км — всё верно. - Время полного пути: товарный: 75 / 60 = 1.25 ч; скорый: 75 / 90 ≈ 0.833 ч. Разница ≈ 0.417 ч = 25 минут — условие выполняется. Ответ: - Скорость товарного поезда: 60 км/ч. - Скорость скорого поезда: 90 км/ч.