Решите неравенство 3x²-2x-5x>0
Задача: решить неравенство 3x^2 - 2x - 5x > 0.
Упростим выражение: 3x^2 - 2x - 5x = 3x^2 - 7x. Неравенство: 3x^2 - 7x > 0.
Разложим на множители: 3x^2 - 7x = x(3x - 7). Значит неравенство эквивалентно x(3x - 7) > 0.
Найдём корни уравнения x(3x - 7) = 0: x = 0 или 3x - 7 = 0 ⇒ x = 7/3.
Нужно найти участки на оси, где произведение положительно. Разделим по критическим точкам x = 0 и x = 7/3. Проверяем знаки в интервалах:
- (-∞, 0): возьмём, например, x = -1: x < 0, 3x - 7 < 0, произведение положительное.
- (0, 7/3): возьмём x = 1: x > 0, 3x - 7 < 0, произведение отрицательное.
- (7/3, ∞): возьмём x = 3: x > 0, 3x - 7 > 0, произведение положительное.
Так как неравенство строго > 0, точки где выражение обнуляется (x = 0 и x = 7/3) исключаем.
Ответ: (-∞, 0) ∪ (7/3, ∞).
Пояснение: коэффициент перед x^2 положительный, следовательно парабола открывается вверх, и выражение положительно за пределами корней; именно это и отражают найденные интервалы.
Обсуждение
2 сообщениясделай решение с дискриминантом
Давайте решим неравенство \( 3x^2 - 7x > 0 \) с использованием дискриминанта.
- Запишем уравнение, соответствующее неравенству:
\[ 3x^2 - 7x = 0. \]
- Найдём корни этого уравнения с помощью формулы дискриминанта. Для этого найдем \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 3, b = -7, c = 0 \):
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 49 - 0 = 49. \]
- Корни уравнения находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 7}{6}. \]
Получаем:
\[ x_1 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{0}{6} = 0. \]
Теперь у нас есть корни \( x = 0 \) и \( x = \frac{7}{3} \).
- Определим знаки произведения \( 3x^2 - 7x \) на интервалах, образованных корнями: \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{7}{3}) \) и \( (\frac{7}{3}, \infty) \).
- Для интервала \( (-\infty, 0) \), например, \( x = -1 \): \[ 3(-1)^2 - 7(-1) = 3 + 7 = 10 > 0. \]
- Для интервала \( (0, \frac{7}{3}) \), например, \( x = 1 \): \[ 3(1)^2 - 7(1) = 3 - 7 = -4 < 0. \]
- Для интервала \( (\frac{7}{3}, \infty) \), например, \( x = 3 \): \[ 3(3)^2 - 7(3) = 27 - 21 = 6 > 0. \]
- Формируем итоговые интервалы, где неравенство \( 3x^2 - 7x > 0 \) выполняется (где знак положительный):
Ответ: \( (-\infty, 0) \cup \left( \frac{7}{3}, \infty \right) \).
Это значит, что неравенство выполняется для \( x \) в указанных интервалах.
