постройте график функции и перечислите её свойства у=-х²+4х+5

Ниже подробное решение и полный набор свойств для функции y = -x^2 + 4x + 5.

1. Приведение к вершиной форме (для удобства построения)

• y = -(x^2) + 4x + 5
• Пусть: y = -(x^2 - 4x) + 5
• Дополняем квадрат: x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4
• Тогда y = -[(x - 2)^2 - 4] + 5 = -(x - 2)^2 + 9

Вершина параболы: (2, 9).
Ось симметрии: x = 2.
Форма: ветви направлены вверх или вниз? Так как коэффициент при x^2 равен -1, ветви направлены вниз (парабола открывается вниз).

2. Основные точки (для построения)

• y-перехват (y-ось): при x = 0, y = -0 + 0 + 5 = 5 → (0, 5)
• x-перехваты (нулевые точки): решаем -x^2 + 4x + 5 = 0 Приводим к квадратному уравнению: x^2 - 4x - 5 = 0 Дискриминант: D = (-4)^2 - 4·1·(-5) = 16 + 20 = 36 Корни: x = (4 ± 6) / 2 → x = -1 и x = 5 Значит x-пересечения: (-1, 0) и (5, 0)

3. Свойства функции

• Область определения: все действительные числа R
• Область значений (диапазон): y ≤ 9 (максимум достигается в вершине)
• Виды симметрии: график симметричен относительно прямой x = 2
• Направление ветвей: парабола открывается вниз
• Коэффициент при x^2: a = -1 (отрицателен)
• Координаты вершины: (2, 9)
• Значения в некоторых точках (для построения графика):
  x = -1 → y = 0
  x = 0 → y = 5
  x = 1 → y = 8
  x = 2 → y = 9 (максимум)
  x = 3 → y = 8
  x = 4 → y = 5
  x = 5 → y = 0

4. Как построить график (пошагово)

• Нарисуйте координатную сетку и отметьте оси.
• Отметьте точки пересечения с осью y: (0, 5).
• Найдите и отметьте x-пересечения: (-1, 0) и (5, 0).
• Отметьте вершину: (2, 9) и ось симметрии x = 2.
• Проложите плавную параболу через отмеченные точки, помня, что график симметричен относительно x = 2 и открывается вниз.
• Можно проверить несколько дополнительных точек: (1, 8) и (3, 8) должны лежать на графике, как указано выше.
• График должен выглядеть как дуга вниз с максимумом в (2, 9), пересекающую ось y в (0, 5) и пересекающую ось x в (-1, 0) и (5, 0).

5. Короткое резюме свойств

• Парабола вертикальная, ветви вниз
• Ось симметрии: x = 2
• Вершина: (2, 9)
• Дискриминант квадравого уравнения для нахождения корней: D = 36 (есть два корня: x = -1 и x = 5)
• Область определения: (-∞, ∞); область значений: (-∞, 9]
• Наклон/конфигурация образована как y = -(x - 2)^2 + 9 (вариант записи вершиной формы)

Если нужно, могу нарисовать график на заданном вами диапазоне координат или привести таблицу значений в удобном формате.