нарисуй график функций: y = -cosx y = 1/2sinx y = tgx-1

Отлично. Ниже подробное пошаговое руководство по построению графиков трех функций на одной системе координат и объяснения ключевых свойств каждой из них.

Задача: графики y = -cos x, y = (1/2) sin x, y = tan x - 1

1. y = -cos x

• Тип и параметры:
  • Амплитуда: 1
  • Период: 2π
  • Фаза: без смещения
  • Вертикальное отражение: да (по сравнению с y = cos x)
• Основные свойства:
  • График начинается в x = 0: y(0) = -cos 0 = -1
  • Корни: y = 0 тогда, когда cos x = 0, то есть x = π/2 + kπ
  • Значения: в x = π, y = -cos π = 1; в x = 3π/2, y = 0; и т.д.
  • Область значений: [-1, 1]
• Пример характерных точек (на интервале [0, 2π]):
  • x = 0 → y = -1
  • x = π/2 → y = 0
  • x = π → y = 1
  • x = 3π/2 → y = 0
  • x = 2π → y = -1
• Как нарисовать:
  • Начерти синусоиду, но легко «переверни» её по оси x (у неё начальная точка в -1 на оси y).
  • Отметь точки корней в x = π/2 + kπ и вершины в x = kπ (y = ±1).
  • Повтори график периодически через 2π.

2. y = (1/2) sin x

• Тип и параметры:
  • Амплитуда: 0.5
  • Период: 2π
  • Фаза: без смещения
  • Вертикальный сдвиг: отсутствует
• Основные свойства:
  • График проходит через начало координат: y(0) = 0
  • Корни: sin x = 0 → x = kπ
  • Наибольшие значения: y = 0.5 (при x = π/2 + 2kπ)
  • Наименьшие значения: y = -0.5 (при x = 3π/2 + 2kπ)
  • Область значений: [-0.5, 0.5]
• Пример точек (на интервале [0, 2π]):
  • x = 0 → y = 0
  • x = π/2 → y = 0.5
  • x = π → y = 0
  • x = 3π/2 → y = -0.5
  • x = 2π → y = 0
• Как нарисовать:
  • Начни в центре (0,0). Пройди плавную волну вверх до 0.5 на x = π/2, затем вниз до 0 на x = π, дальше вниз до -0.5 на x = 3π/2 и обратно к 0 на x = 2π.
  • Повторяй период 2π.

3. y = tan x - 1

• Тип и параметры:
  • Тангенс имеет период π, вертикальные асимптоты там же, что и у tan x
  • Вертикальный сдвиг: на 1 вниз (в результате график смещён вниз на 1 по оси y)
• Основные свойства:
  • Область определения: все x, кроме x = π/2 + kπ (где тангенс имеет асимптоту)
  • Асимптоты: x = π/2 + kπ
  • Вкладка вверх/вниз: между асимптотами график возрастает от -∞ до +∞
  • Значение в нуле: y(0) = tan 0 - 1 = -1
  • Точка пересечения с осью y: находим x, где tan x = 1 → x = π/4 + kπ
  • Пример значимый точек:
    • x = 0 → y = -1
    • x = π/4 → y = 0
    • x = π → y = -1
    • на интервале (-π/2, π/2): при x = -π/4 → y = tan(-π/4) - 1 = -1 - 1 = -2
• Как нарисовать:
  • Нарисуй стандартный график tan x в каждом интервале между асимптотами, затем сдвинь весь график вниз на 1.
  • Запомни асимптоты: x = π/2, -π/2, 3π/2 и т.д.
  • В первом интервале (-π/2, π/2) отметь точку пересечения с осью x при x = π/4 (y = 0) и точку в x = 0 (y = -1).

Совмещённый план черчения на одной сетке

• Шкала: лучше взять диапазон x от -2π до 2π с шагом π/2 или π/4; шкала по y достаточно [-2, 2], что удобно для всех трёх графиков.
• Шаги:
  1. Построй две горизонтальные линии y = -2 и y = 2 для ориентиров.
  2. Нарисуй график y = -cos x: волнообразная парабола-склоненная синусоида через точки, указанные выше.
  3. На той же сетке наложи график y = (1/2) sin x: маленькая амплитуда, синусоида полностью в диапазоне [-0.5, 0.5].
  4. Наложи график y = tan x - 1: серии из прерывистых S-образных ветвей между асимптотами, каждая ветвь повторяется каждые π.
  5. Обрати внимание на точки пересечения y1 и y2 рядом с x ≈ -1.107 и x ≈ 2.034 радиан (если считать на диапазоне [-π, π]). Если пригодится, можно посчитать пересечения и наглядно отметить их.
• Прямые полезные контрольные точки:
  • y1 = -cos x: (0, -1), (π/2, 0), (π, 1)
  • y2 = (1/2) sin x: (0, 0), (π/2, 0.5), (π, 0), (3π/2, -0.5), (2π, 0)
  • y3 = tan x - 1: асимптоты x = π/2 + kπ; (0, -1), (π/4, 0), (π, -1)
• Нюансы:
  • Для tan x учетDomain: не рисуй точки на ось там, где функция не определена (асимптоты).
  • При наложении графиков можно отметить их пересечения для лучшего понимания взаимного расположения.

Дополнительные полезные заметки

• Графики y = -cos x и y = (1/2) sin x обе синусоидальные, но имеют разные амплитуды и фазы (у -cos x максимумы в x = kπ, у (1/2) sin x — в x = π/2 + 2kπ).
• График tan x − 1 имеет бесконечную разрыву в каждом асимптном месте tan x, а сам график повторяется через каждый π.
• Если хочешь, могу привести компактные таблицы точек на более длинном диапазоне или построить ASCII-скетч приближённый для одного интервала.

Хочешь, могу сгенерировать текстовый (ASCII) набросок или дать готовые команды для Desmos/Geogebra, чтобы сразу увидеть совмещённый график?