(2х-7)/(х+1)+(3х+2)/(х-1)=7

Задача: (2x − 7)/(x + 1) + (3x + 2)/(x − 1) = 7 Цель: понять решение (пошагово, с пояснениями).

1. Учти ограничения

• Деноминаторы не должны быть равны нулю: x ≠ −1 и x ≠ 1.

2. Очистим дроби от знаменателей

• Возьмём общий знаменатель (x + 1)(x − 1) = x^2 − 1 и умножим обе стороны на него: (2x − 7)(x − 1) + (3x + 2)(x + 1) = 7(x^2 − 1).

3. Раскроем скобки

• (2x − 7)(x − 1) = 2x^2 − 9x + 7
• (3x + 2)(x + 1) = 3x^2 + 5x + 2
• Сложим: (2x^2 − 9x + 7) + (3x^2 + 5x + 2) = 5x^2 − 4x + 9

4. Обозначим правую часть

• 7(x^2 − 1) = 7x^2 − 7

5. Перенесём всё в одну сторону

• 5x^2 − 4x + 9 = 7x^2 − 7
• Перемещаем: 0 = 7x^2 − 7 − (5x^2 − 4x + 9) = 2x^2 + 4x − 16
• Поделим на 2: x^2 + 2x − 8 = 0

6. Найдём корни квадратного уравнения

• x^2 + 2x − 8 = 0
• Разложим на множители: (x + 4)(x − 2) = 0
• Корни: x = −4 или x = 2

7. Проверка условий

• Оба корня удовлетворяют ограничениям: x ≠ −1, 1.

8. Верификация (быстрая проверка)

• При x = 2: (2·2 − 7)/(2 + 1) + (3·2 + 2)/(2 − 1) = (4 − 7)/3 + (6 + 2)/1 = −1 + 8 = 7 ✓
• При x = −4: (2(−4) − 7)/(−4 + 1) + (3(−4) + 2)/(−4 − 1) = (−8 − 7)/(−3) + (−12 + 2)/(−5) = 5 + 2 = 7 ✓

Ответ: x = 2 или x = −4.