5.Из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой к и отрезок AD. Точки В и D принадлежат прямой к. Из точки В провели отрезки ВН, ВК и BN к отрезку AD, так что ВН перпендикулярен…

Ниже предлагаю заполнить пункты d–f, исходя из условий задачи. Для ясности приведу принципы построения и затем ответ на каждый пункт.

Уточнение концепции

• K – прямая через B, являющаяся биссектрисой ∠ABH.
• N – точка на AD, так что BN ⟂ AD.
• H – точка пересечения BH с AD ( BH строится так, чтобы BN была биссектором ∠DBH).
• По условию: BD лежит на прямой k, AB ⟂ k; D и B принадлежат k; AD дана.
• BK и BN являются биссекторами углов ABH и DBH соответственно.

d) Сделайте чертеж по условию задачи Пошаговая конструкция (строго по геометрии компас-линейка):

1. Постройте прямую k. На ней возьмите две произвольные точки B и D.
2. Из точки A проведите перпендикуляр к прямой k так, чтобы AB ⟂ k и точка B лежала на k.
3. Соедините A и D линией AD.
4. Опустите из B перпендикуляр к AD: BN ⟂ AD, точка N лежит на AD.
5. Постройте луч BH так, чтобы BN была биссектором угла ∠DBH. Это делается как отражение луча BD относительно BN: проведите через B луч BH, симметричный BD по BN. Пусть BH пересекает AD в точке H (H = BH ∩ AD).
6. Величите угол ∠ABH и постройте его внутренний бисектрис BK, т. е. BK – бисектриса ∠ABH.
7. Чертеж готов: BK, BN – бисектрисы соответствующих углов; BN ⟂ AD по условию; H — пересечение BH с AD.

e) <KBN [1] [2] Содержательное решение:

• Обозначим θ1 = ∠ABH и θ2 = ∠DBH.
• Так как AB ⟂ BD (AB ⟂ k и BD лежит на k), имеем θ1 + θ2 = 90°.
• BK — бисектриса ∠ABH, поэтому ∠ABK = ∠KBH = θ1/2.
• BN — бисектриса ∠DBH, поэтому ∠DBN = ∠NBG = θ2/2.
• Угол ∠KBN состоит из части, где BK расположен между BA и BH (в интервале ∠ABH), и части между BH и BN (BN лежит между BH и BD). Таким образом: ∠KBN = θ1/2 + θ2/2 = (θ1 + θ2)/2 = 90°/2 = 45°. Итак, ∠KBN = 45° (независимо от точного расположения H на AD).

f) <АВК, если <DBN=30°

• По определению BN — бисектриса ∠DBH, значит ∠DBN = θ2/2. Дано ∠DBN = 30°, значит θ2 = ∠DBH = 60°.
• Так как AB ⟂ BD, θ1 + θ2 = 90°, следовательно θ1 = 90° − 60° = 30°.
• BK — бисектриса ∠ABH, поэтому ∠ABK = θ1/2 = 30°/2 = 15°.

Ответ: ∠ABK = 15°.