AB и CD диаметры одной окружности с центром O. Докажите что хорда AC равна хорде BD

Решение для задачи с понятиями 7 класса.

Дано: AB и CD — диаметры одной окружности с центром O. Точки A, B, C, D лежат на окружности, OA = OB = OC = OD = R. AB и CD являются параллельны? Не обязательно; важен факт противоположности точек на диаметрах: B — противоположна A, D — противоположна C.

Способ 1. Прямой геометрический аргумент через поворот на 180° вокруг O

• Поворот на 180° (полуповорот) вокруг центра O обменяет A и B, а также C и D: A ↔ B, C ↔ D.
• Под действием этого поворота отрезок AC переходит в BD. Поворот сохраняет длины отрезков, поэтому AC = BD.

Способ 2. Через центральные углы

• Центральные углы: ∠AOC — угол между радиусами OA и OC; ∠BOD — угол между OB и OD.
• Так как OB — противоположен OA, а OD — противоположен OC, имеем OB = -OA и OD = -OC.
• Следовательно угол между OB и OD равен углу между -OA и -OC, то есть ∠BOD = ∠AOC.
• Хорды в окружности равны, если соответствующие центральные углы равны. Поскольку ∠AOC = ∠BOD, получаем AC = BD.

Вывод: хорды AC и BD равны.