xy' -. y=0
Задача: x y' - y = 0.
Детальное решение (пошагово):
Упростим уравнение для x ≠ 0 x y' - y = 0 → y' - (1/x) y = 0.
Разделим переменные dy/y = dx/x.
Интегрируем обе стороны ∫(1/y) dy = ∫(1/x) dx → ln|y| = ln|x| + C, где C — константа.
Возведём экспоненту, получим обычную форму решения |y| = e^C · |x|. Пусть C1 = e^C > 0, затем можно записать y = C1 · x или, объединяя знак в константу, y = C x, где C — произвольная постоянная (C ∈ ℝ).
Проверка y' = C, тогда x y' - y = x·C - (C x) = 0. Это верно для любого x, включая x ≠ 0.
Примечание относительно точки x = 0 При x = 0 исходное уравнение даёт -y(0) = 0, то есть y(0) = 0. Семейство решений y = Cx удовлетворяет этому условию (при любом C), поэтому решение можно рассматривать на любом интервале, включая точку x = 0. В частности, C = 0 даёт тривиальное решение y ≡ 0.
Итого, общее решение задачи: y = C x, где C — произвольная константа (включая C = 0).
