sqrt[9] sqrt m sqrt(16 * root(m, 9))

Задача: \(\sqrt[9]{\,\sqrt{m}\cdot \sqrt{\,16\cdot \sqrt[9]{m}\,}\,}\)

Раскрываем по шагам.

1. Запишем степени:

• \(\sqrt{m} = m^{1/2}\)
• \(\sqrt{16\cdot \sqrt[9]{m}} = \sqrt{16}\cdot \sqrt{\sqrt[9]{m}} = 4 \cdot (\sqrt[9]{m})^{1/2} = 4 \cdot m^{1/18}\)

2. Перемножим под радикалом (до девятой корни): \[ \sqrt{m}\cdot \sqrt{16\cdot \sqrt[9]{m}} = m^{1/2} \cdot (4 \cdot m^{1/18}) = 4 \cdot m^{1/2 + 1/18} \] \[ 1/2 + 1/18 = 9/18 + 1/18 = 10/18 = 5/9 \] Итак внутри девятой корни получаем \(4 \cdot m^{5/9}\).

3. Применяем девятую корень: \[ \sqrt[9]{\,4 \cdot m^{5/9}\,} = 4^{1/9} \cdot m^{(5/9)\cdot (1/9)} = 4^{1/9} \cdot m^{5/81} \]

4. Приведём к более простым степенным формам: \[ 4^{1/9} = (2^2)^{1/9} = 2^{2/9} \] Значит итог: \[ \sqrt[9]{\sqrt{m}\cdot \sqrt{16\cdot \sqrt[9]{m}}} = 2^{2/9} \cdot m^{5/81} \]

Домен: выражение определено при \(m \ge 0\) (из-за \(\sqrt{m}\)).

Проверка на примере \(m=1\): правая часть даёт \(2^{2/9}\approx 1.166\), левая — \(\sqrt[9]{\sqrt{1}\cdot \sqrt{16\cdot \sqrt[9]{1}}} = \sqrt[9]{1\cdot 4} = \sqrt[9]{4} \approx 1.166\). Совпадает.

Итоговый ответ: \(2^{2/9} \cdot m^{5/81}\) (при \(m \ge 0\)). Если хотите, можно записать как \(\sqrt[9]{4}\cdot \sqrt[81]{m^5}\).