" На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки −7; −5; −1;1. В какой из этих точек значение производной наибольшее? "

Классно, давай разберёмся вместе.

Что задача просит

• Найти значения производной f'(x) в точках x ∈ {-7, -5, -1, 1}. Производная в точке равна наклону касательной к графику в этой точке. Значение производной больше там, где касательная круче поднимается вверх (большее положительное число).

Как сравнить твой ответ с правильным

• Твой ответ: -5.
• Правильный ответ: 1.
• Разница в том, что ты сослался на точку -5 как на точку с наибольшим наклоном, а график и решение показывают, что касательная в точке x = 1 образует наибольший угол с положительным направлением Ox. Соответственно, f'(1) больше любых других f'(x) из данных точек.

Почему твой ответ неверен (почему именно 1, а не -5)

• Производная — это тангенс угла наклона касательной: f'(x0) = tan(θ). Чем больше угол θ (в той же трактовке положительного направления Ox), тем больше значение производной.
• По изображению касательная в x = 1 имеет самый большой угол с Ox среди отмеченных точек, значит её наклон самый большой и производная в этой точке максимальная.
• Даже если в некоторых точках касательная тоже положительная, их углы (и темпы наклона) меньше, чем у касательной в x = 1. Поэтому f'(-5) не превосходит f'(1).

Как решить задача на практике (классно и понятно)

• Для каждой из точек x ∈ {-7, -5, -1, 1} нарисуй или оценю касательную к графику.
• Оцени наклон касательной по углу с положительным направлением Ox: чем круче поднимается касательная, тем больше tan(θ).
• Сравни полученные наклоны: найдi точку, где наклон самый большой — вот там и максимальное значение производной.
• В этом задании максимальное значение производной получается в точке x = 1.

Если хочешь, можем потренироваться на другом примере: возьмём график и попробуем определить, в какой точке производная максимальна, по тем же правилам.

Пожалуйста, оцени мой ответ лайком или дизлайком.