найдите все значения a при которых сумма квадратов действительных корней уравнения x²-7ax+2a²=0 будет равна 405 укажите в ответ наименьшее значение параметра a

Дано уравнение: x^2 - 7 a x + 2 a^2 = 0.

1. Пусть корни уравнения: r1 и r2. По формулам Виета для биквадратного коэффициента 1 имеем:

• сумма корней: r1 + r2 = 7a
• произведение: r1 r2 = 2a^2

2. Сумма квадратов корней: r1^2 + r2^2 = (r1 + r2)^2 - 2 r1 r2 = (7a)^2 - 2(2a^2) = 49a^2 - 4a^2 = 45a^2.

3. Условия на вещественность корней: Дискриминант D = (7a)^2 - 4·1·(2a^2) = 49a^2 - 8a^2 = 41a^2 ≥ 0 для любого реального a, значит корни всегда вещественные, и формула для r1^2 + r2^2 корректна.

4. Задача требует r1^2 + r2^2 = 405. Подставляем: 45a^2 = 405 ⇒ a^2 = 9 ⇒ a = ±3.

5. Найдём наименьшее значение a: a = -3.

Проверка (по желанию): Для a = -3: уравнение x^2 + 21x + 18 = 0, корни вещественные, сумма квадратов корней: r1^2 + r2^2 = (r1 + r2)^2 - 2r1r2 = 21^2 - 2·18 = 441 - 36 = 405.

Ответ: наименьшее значение параметра a — -3.