На ребре DC правильной треугольной пирамиды взята точка М, так что МС=2DM. Докажите, что OM||(ABD), где точка О – центр треугольника АВС.

Задача: На ребре DC правильной треугольной пирамиды взята точка M so что MC = 2 DM. Докажите, что OM параллельно плоскости ABD, где O — центр треугольника ABC. Замечание: под “центр треугольника ABC” будем понимать центроид треугольника ABC (точку пересечения медиан). В регулярной треугольной пирамиде ABCD базу ABC можно взять в плоскости z = 0, а вершину D над ней. Решение через координаты (пошагово): 1) Выбор координат для правильной треугольной пирамиды. - Расположим базу ABC в плоскости z = 0 так, чтобы ABC образовал равносторонний треугольник и центр базы O совпал с началом координат: A = (1, 0, 0) B = (-1/2, √3/2, 0) C = (-1/2, -√3/2, 0) - В таком выборе геометрический центр треугольника ABC: O = (A + B + C)/3 = (0, 0, 0). - Вершина D расположим над базой так, чтобы расстояния AD = BD = CD = AB (то есть пирамида правильная). Можно взять D = (0, 0, h). Требуется h так, чтобы DA^2 = AB^2. AB^2 = |B − A|^2 = (-3/2)^2 + (√3/2)^2 = 9/4 + 3/4 = 3. DA^2 = (1 − 0)^2 + (0 − 0)^2 + (0 − h)^2 = 1 + h^2. Следовательно, 1 + h^2 = 3 → h^2 = 2 → h = √2. Значит D = (0, 0, √2). 2) Координаты точки M на ребре DC. Дано MC = 2 DM, значит DM:MC = 1:2 и M делит DC на долю 1/3 от D к C. По формуле деления отрезка: M = (2D + C)/3. Вычислим: D = (0, 0, √2), C = (−1/2, −√3/2, 0). M = ((0 + −1/2)/3, (0 + −√3/2)/3, (2√2 + 0)/3) = (−1/6, −√3/6, 2√2/3). 3) Вектор OM и нормаль к плоскости ABD. - Так как O = (0,0,0), то OM = M = (−1/6, −√3/6, 2√2/3). - Векторы основания плоскости ABD: AB = B − A = (−3/2, √3/2, 0), AD = D − A = (−1, 0, √2). - Вектор-нормаль к плоскости ABD можно взять как n = AB × AD. AB × AD = (√6/2, 3√2/2, √3/2). 4) Проверка параллельности OM и плоскости ABD. Проверяем скалярное произведение OM · n: OM · n = (−1/6)(√6/2) + (−√3/6)(3√2/2) + (2√2/3)(√3/2) = −√6/12 − √6/4 + √6/3 = √6(−1/12 − 1/4 + 1/3) = √6(−1/12 − 3/12 + 4/12) = 0. Так как OM ⟂ n (ее скалярное произведение с нормалью равно нулю), линия OM параллельна плоскости ABD. Вывод: В данной конфигурации OM параллельно плоскости ABD, что и требовалось доказать.