log2(x-5)+log2(x+2)=3

Цель: Понять

Задача: log2(x-5) + log2(x+2) = 3

1. Пределы логарифмов:

   • x - 5 > 0 и x + 2 > 0 ⇒ x > 5. Значит потенциальные решения должны удовлетворять x > 5.

2. Объединение логарифмов: log2(x-5) + log2(x+2) = log2[(x-5)(x+2)]. Следовательно, log2[(x-5)(x+2)] = 3 ⇒ (x-5)(x+2) = 2^3 = 8.

3. Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению: (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 = 8 ⇒ x^2 - 3x - 18 = 0.

4. Решение квадратного уравнения: D = (-3)^2 - 41(-18) = 9 + 72 = 81. x = [3 ± sqrt(81)] / 2 = (3 ± 9) / 2. Получаем x = 6 и x = -3.

5. Проверка условий области определения: Из пункта 1 допустимы только x > 5, поэтому x = -3 не подходит.

6. Проверка решения: x = 6: log2(6-5) + log2(6+2) = log2(1) + log2(8) = 0 + 3 = 3. Верно.

Ответ: x = 6.