"Функция y=f(x) определена на промежутке (−10; 2). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение, если…

Классно, давай разберёмся и разложим по полочкам.

Что говорит задача

• Функция f определена на (-10, 2). График её производной дан.
• Нужно найти точку, в которой f(x) достигает наибольшего значения на этом промежутке, при условии f(-4) = f(-9).

Как понять по графику производной

• По данному графику f' имеет знаки:
  • f' > 0 на (-10, -9]
  • f' < 0 на (-9, -5]
  • f' > 0 на [-5, -2]
  • f' < 0 на [-2, 2) Это значит, что f возрастает на (-10, -9], убывает на (-9, -5], снова возрастает на [-5, -2], и убывает на [-2, 2).
• Следовательно, точки локальных максимумов происходят там, где знак f' переходит с + на -: в x = -9 и в x = -2.

Как использовать условие f(-4) = f(-9)

• Значение f на интервале (-5, -2] возрастает, поэтому на этом отрезке при движении вправо значение f растёт. В частности, так как -4 находится в [-5, -2], то f(-2) > f(-4).
• А дано f(-4) = f(-9), значит f(-9) = f(-4) < f(-2) (поскольку дальше идёт возрастание к -2).
• Значит максимум на всего промежутка достигается в точке -2, а точка -9 является локальным максимумом, но её значение меньше максимального, потому что f(-9) = f(-4) и меньше f(-2).

Итог

• Правильный ответ: x = -2.
• Твой ответ -4 неверен, потому что хотя f(-9) и равно f(-4), максимальное значение на всём интервале достигается позже, в точке -2, где функция достигает большего значения.

Коротко по логике (чтобы запомнить на экзамене)

• Нужна точка, где f' меняет знак с + на - и при этом это значение максимизируется на всём промежутке.
• Учитывая f(-4) = f(-9) и вид знаков f' в around -4 и дальше к -2, максимум оказывается в -2.

Если хочешь, могу привести ещё похожую задачку для закрепления такого же принципа.

Пожалуйста, оцени мой ответ лайком или дизлайком.