lg(x-1)+lg(x+1)=0

Задача: lg(x-1) + lg(x+1) = 0

Цель: подробное решение с объяснениями.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

• Чтобы логарифмы были определены, нужны аргументы > 0: x-1 > 0 и x+1 > 0.
• Это даёт x > 1. Значит любые решения должны удовлетворять этому условию.

Шаг 2. Объединим логарифмы

• lg(x-1) + lg(x+1) = lg((x-1)(x+1)) = lg(x^2 - 1), поскольку x > 1, оба аргумента положительны.

Шаг 3. Перепишем уравнение

• lg(x^2 - 1) = 0.

Шаг 4. Переведём логарифм в экспоненциальную форму

• lg(y) = 0 эквивалентно y = 10^0 = 1.
• Значит x^2 - 1 = 1.

Шаг 5. Найдём x

• x^2 = 2 → x = ±√2.
• Но из Шага 1 учитываем домен x > 1, поэтому допускаем только x = √2.

Шаг 6. Проверка

• Подставим x = √2: (√2 - 1)(√2 + 1) = 2 - 1 = 1.
• lg(√2 - 1) + lg(√2 + 1) = lg((√2 - 1)(√2 + 1)) = lg(1) = 0. Проверка прошла.

Ответ: x = √2.