Lg(x-2)+lgx=lg3

Задача: lg(x-2) + lg x = lg 3 Пояснение по шагам 1) Определим область допустимых значений - Логарифмы существуют только при аргументах > 0. - Значит x > 0 и x - 2 > 0, следовательно x > 2. - Важно: решения должны удовлетворять этому условию. 2) Применим свойство логарифмов - lg(a) + lg(b) = lg(ab) при a > 0, b > 0. - Применяем к нашей задаче: lg(x-2) + lg x = lg[(x-2)·x]. Перепишем уравнение: lg[(x-2)·x] = lg 3 3) Вынесем из логарифма аргументы - Для логарифма базой 10 (lg) функция строго возрастает на (0, ∞), поэтому равенство lg A = lg B эквивалентно A = B, если A и B > 0. - Поскольку из условия x > 2 следует (x-2)·x > 0, можно переходить к равенству: x(x-2) = 3 4) Решим полученное квадратное уравнение x^2 - 2x = 3 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 Это даёт решения x = 3 или x = -1. 5) Проверим по области допустимых значений - x = -1 не удовлетворяет x > 2, поэтому исключаем. - x = 3 удовлетворяет (x > 2). 6) Проверка в исходном уравнении lg(3-2) + lg 3 = lg 3 lg(1) + lg 3 = lg 3 0 + lg 3 = lg 3 — верно. Ответ: x = 3.