lg(x-2)+lgx=lg3

Задача: lg(x-2) + lg x = lg 3

Пояснение по шагам

1. Определим область допустимых значений

• Логарифмы существуют только при аргументах > 0.
• Значит x > 0 и x - 2 > 0, следовательно x > 2.
• Важно: решения должны удовлетворять этому условию.

2. Применим свойство логарифмов

• lg(a) + lg(b) = lg(ab) при a > 0, b > 0.
• Применяем к нашей задаче: lg(x-2) + lg x = lg[(x-2)·x].

Перепишем уравнение: lg[(x-2)·x] = lg 3

3. Вынесем из логарифма аргументы

• Для логарифма базой 10 (lg) функция строго возрастает на (0, ∞), поэтому равенство lg A = lg B эквивалентно A = B, если A и B > 0.
• Поскольку из условия x > 2 следует (x-2)·x > 0, можно переходить к равенству: x(x-2) = 3

4. Решим полученное квадратное уравнение x^2 - 2x = 3 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 Это даёт решения x = 3 или x = -1.

5. Проверим по области допустимых значений

• x = -1 не удовлетворяет x > 2, поэтому исключаем.
• x = 3 удовлетворяет (x > 2).

6. Проверка в исходном уравнении lg(3-2) + lg 3 = lg 3 lg(1) + lg 3 = lg 3 0 + lg 3 = lg 3 — верно.

Ответ: x = 3.