лог2(17-2^х)+ лог2(2^х+15)=8

Решение задачи: log2(17 − 2^x) + log2(2^x + 15) = 8

1. Пределы предмета и домен

• Требуется 17 − 2^x > 0 и 2^x + 15 > 0. Второе верно для любого x, поэтому домен определяется только первым неравенством: 2^x < 17 ⇒ x < log2(17) ≈ 4.09. Решение принадлежит этому интервалу.

2. Объединение логарифмов

• Так как аргументы положительны, можно использовать свойство: log2(A) + log2(B) = log2(A·B). Тогда log2[(17 − 2^x)(2^x + 15)] = 8. Следовательно, (17 − 2^x)(2^x + 15) = 2^8 = 256.

3. Замена переменной

• Обозначим y = 2^x (> 0). Тогда уравнение становится: (17 − y)(y + 15) = 256.
• Раскрываем скобки: (17 − y)(y + 15) = −y^2 + 2y + 255. И равно 256, значит: −y^2 + 2y + 255 = 256 ⇒ −y^2 + 2y − 1 = 0. Умножим на −1: y^2 − 2y + 1 = 0 ⇒ (y − 1)^2 = 0 ⇒ y = 1.

4. Возврат к x и проверка

• y = 2^x = 1 ⇒ x = 0.
• Проверка: 17 − 2^0 = 16, 2^0 + 15 = 16, log2(16) + log2(16) = 4 + 4 = 8. Действительно решение.

Ответ: x = 0.