1. Найдите f'(x) и f'(x0), если: a) f(x) = 3x^5 - 12x^2 + 6x + 2, x0 = 1; б) f(x) = x sin x, x0 = π/2.

Решение задачи по шагам.

а) f(x) = 3x^5 - 12x^2 + 6x + 2, x0 = 1

• Найдём производную f'(x):

  • d/dx (3x^5) = 15x^4
  • d/dx (-12x^2) = -24x
  • d/dx (6x) = 6
  • d/dx (2) = 0 Итого: f'(x) = 15x^4 - 24x + 6

• Найдём f'(x0): подставим x0 = 1 f'(1) = 15·1^4 - 24·1 + 6 = 15 - 24 + 6 = -3

Ответ:

• Общая производная: f'(x) = 15x^4 - 24x + 6
• Значение в x0: f'(1) = -3

б) f(x) = x sin x, x0 = π/2

• Здесь применим правило произведения. Пусть u(x) = x, v(x) = sin x. Тогда f(x) = u(x)·v(x), f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x) = (1)(sin x) + x(cos x) Итак, f'(x) = sin x + x cos x

• Найдём f'(x0): подставим x0 = π/2 sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0 → f'(π/2) = 1 + (π/2)·0 = 1

Ответ:

• Общая производная: f'(x) = sin x + x cos x
• Значение в x0: f'(π/2) = 1