Как решать систему уравнений методом сложения?

Ниже детально объясню, как решать систему уравнений методом сложения (elimination), это одно из самых распространённых средств в 9-м классе алгебры. Что это за метод - Суть метода: подобрать такие множители к каждому уравнению, чтобы при сложении (или вычитании) одной переменной они «правильно» исчезли. - Обычно выбирают вариант, чтобы исключить одну из переменных (x или y), а затем решить получившееся линейное уравнение одной переменной. Пошаговый алгоритм 1) Запишите систему в стандартном виде двух линейных уравнений: a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 2) Выберите переменную, которую будете исключать (x или y). 3) Найдите коэффициенты, на которые нужно умножить каждое уравнение, чтобы сумма стала нулевой по выбранной переменной. - Часто удобнее взять multipliers p и q такие, что p*b1 + q*b2 = 0 (если исключаем y). - Примеры часто: умножить первое уравнение на b2, второе на b1, затем сложить, чтобы исчезла y: p = b2, q = -b1, и затем p*(a1 x + b1 y = c1) + q*(a2 x + b2 y = c2). 4) Выполните умножение и сложение. Получится одно уравнение без выбранной переменной, обычно в виде X*x = K. 5) Найдите одну переменную (например, x = K / X). 6) Подставьте найденное значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную. 7) Проверьте решение в обоих уравнениях системы. Важно про особые случаи - Если после умножения и сложения вы получаете противоречие вида 0 = b (где b ≠ 0), системы нет решений (задача несовместима). - Если коэффициенты обеих строк пропорциональны и правая часть пропорциональна той же константе, то система совместна и имеет бесконечно много решений (система зависимая). Тогда можно выразить одну переменную через другую (поймать зависимость уравнений). Пример 1. Чистый пример с решением Система: 2x + 3y = 12 4x - y = 2 Шаги: - Выбираем исключить y. Умножаем первое уравнение на 1, второе на 3 (чтобы коэффициенты y стали -3 и +3): 2x + 3y = 12 12x - 3y = 6 -sum-: (2x + 12x) + (3y - 3y) = 12 + 6 14x = 18 x = 18/14 = 9/7 - Подставляем x в одно из исходных уравнений, например во второе: 4x - y = 2 4*(9/7) - y = 2 36/7 - y = 2 -y = 2 - 36/7 = 14/7 - 36/7 = -22/7 y = 22/7 Ответ: x = 9/7, y = 22/7 Пояснение: часто дроби можно держать до конца; можно сначала увидеть, получится ли целое решение, подбирая другой пример, но дроби в 9-м классе нормальны. Пример 2. Нет решений (несовместная система) x + y = 1 x + y = 3 Шаги: - Вычитаем одно уравнение из другого: (x+y) - (x+y) = 1 - 3 → 0 = -2, что невозможно. Значит, решений нет. Пример 3. Бесконечно много решений (зависимая система) 2x + 4y = 6 x + 2y = 3 Заметим, что первое уравнение в 2 раза больше второго: 2*(x + 2y) = 2*3 → 2x + 4y = 6 Значит оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Решение зависит от параметра. Из второго уравнения: x = 3 - 2y, где y — любая числовая пара (y ∈ R). Допустимо: бесконечно много решений, которые удовлетворяют x = 3 - 2y. Советы и заметки - Если коэффициенты бьются так, чтобы легко получить противоположные по одной переменной, делайте именно так; это минимизирует дроби. - Всегда после нахождения решения подставляйте в обе исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности. - Для практики можно подбирать примеры так, чтобы коэффициенты давали целые решения, но дроби встречаются часто в задании 9 класса — это нормально. - Если вам удобнее, можно исключать x, выбирая множители так, чтобы a1*(-a2) и a2*(-a1) стали противоположными по x, и затем складывать. Если хочешь, могу предложить ещё 2–3 задачи на тему метода сложения с полными пошаговыми решениями для практики.