На пружину жесткостью k подвесили грузик массой 1 кг. После этого пружину еще растянули на 5 см и отпустили грузик. Равнодействующая сил, действующих на грузик, в момент, когда грузик переместится на 7 см с момента начала движения, равна 3 Н. Определите жесткость пружины. Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с2. Ответ укажите в СИ и округлите до целого числа.

Кратко: ответ — жесткость пружины k = 150 Н/м. Пошаговое решение 1) Вводные данные и обозначения - Масса m = 1 кг, ускорение свободного падения g = 9,8 м/с². - Пусть x — вытяжение пружины от её естественной длины (вниз по вертикали положительное). - Статическое равновесие пружины по весу: k x_eq = m g ⇒ x_eq = m g / k. - После подвешивания грузика пружину дополнительно растянули на 5 см и отпустили. Значит при моменте старта (t = 0) имеем x(0) = x_eq + 0,05 м, и скорость равна нулю. 2) Перемещением системы вокруг точки равновесия - Введём u = x − x_eq — смещение от положения равновесия. - Уравнение движения без влияния гравитации в этом базисе: m u'' + k u = 0. - Начальные условия: u(0) = x(0) − x_eq = 0,05 м, u'(0) = 0. - Решение: u(t) = A cos(ω t) + B sin(ω t), где ω = sqrt(k/m). По начальным условиям A = 0,05, B = 0 → u(t) = 0,05 cos(ω t). - Следовательно, x(t) = x_eq + 0,05 cos(ω t). 3) Условие задачи на момент движения на 7 см - Масса переместилась от момента начала движения на 7 см. Так как начальная скорость нулевая и движение идёт вверх (снижение x относительно t=0), верно x(t) − x(0) = −0,07 м. - Подставим x(t) и x(0) в выражение: x(0) = x_eq + 0,05, а x(t) = x_eq + 0,05 cos(ω t). => x(t) − x(0) = 0,05( cos(ω t) − 1 ) = −0,07. Отсюда cos(ω t) = 1 − 0,07/0,05 = 1 − 1,4 = −0,4. 4) Вычисление x(t) и сил на этот момент - x(t) = x_eq + 0,05 cos(ω t) = x_eq + 0,05(−0,4) = x_eq − 0,02. - Равнодействующая сила на грузик в этот момент: F_res = m g − k x(t) = m g − k(x_eq − 0,02). Так как x_eq = m g / k, имеем F_res = m g − [k(m g / k) − k·0,02] = m g − m g + 0,02 k = 0,02 k. 5) По условию F_res = 3 Н - 0,02 k = 3 Н ⇒ k = 3 / 0,02 = 150 Н/м. Ответ: 150 Н/м (в СИ, без округления помимо целого числа; уже целое).