Задание 5. Монета подбрасывается до появления двух раз подряд решки. Опишите пространство элементарных событий, если разрешается делать не более шесть подбрасываний.

Задача: Монета подбрасывается до появления двух раз подряд решки. Разрешается делать не более шести подбрасываний. Опишите пространство элементарных событий. Цель: понять конструкцию пространства элементарных событий для данного эксперимента. 1) Что считать простым экспериментом - Эксперимент заканчивается либо в момент появления двух последовательных решек (TT), либо после шестого подбрасывания, если таких TT за не более чем шесть подбрасываний не произошло. - Элементарное событие здесь — это конкретная история исходов монеты за все подбрасывания до окончания эксперимента, т.е. конкретная последовательность H/T длины n, где n — момент окончания эксперимента. 2) Как формируются истории (последовательности) - Если TT появляется впервые на шаге n (2 ≤ n ≤ 6), то: - последняя пара исходов s_{n-1}, s_n = TT, - до этого не было TT (то есть пары s_i s_{i+1} для i = 1,2,...,n-2 не равны TT). - Если к концу шестого подбрасывания TT так и не появился, история имеет длину 6 и не содержит ни одной пары TT в первых шести ходов. 3) Перечень элементарных событий по длине - Длина 2: TT - Длина 3: HTT - Длина 4: HHTT, THTT - Длина 5: HHHTT, HHTTT, THHTT - Длина 6, когда первый TT появляется на золотом месте (то есть TT на позициях 5-6) — 5 последовательностей: - HHHHTT - HHTHTT - HTHHTT - THHHTT - THTHTT - Длина 6, когда TT не возникает за все шесть подбрасываний — здесь все возможности — это все бинарные последовательности длиной 6 без двух последовательных T. Таких последовательностей 21 штук. Итого пространство элементарных событий состоит из: - 1 последовательности длины 2: TT - 1 последовательности длины 3: HTT - 2 последовательности длины 4: HHTT, THTT - 3 последовательности длины 5: HHHTT, HHTTT, THHTT - 5 последовательностей длины 6, где TT возникает впервые на 6-м ходе: HHHHTT, HHTHTT, HTHHTT, THHHTT, THTHTT - 21 последовательность длины 6 без TT вообще (то есть все длины 6, над которыми не встречаются две T подряд) Общее количество элементарных событий: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 21 = 33. 4) Пояснения и как считать - Число последовательностей, для которых TT впервые встречается на шаге n, образует последовательность 1, 1, 2, 3, 5 — это сидит в связанности с числом Фибоначчи. Это удобно увидеть так: - n = 2: 1 последовательность (TT) - n = 3: 1 (HTT) - n = 4: 2 (HHTT, THTT) - n = 5: 3 (HHHTT, HHTTT, THHTT) - n = 6: 5 (перечислено выше) - В случае длины 6 есть ещё возможность, когда TT не произошло за первые шесть подбрасываний — это 21 последовательность длины 6 без двух подряд идущих T. Их можно получить как все бинарные строки длины 6 без подстроки TT (аналитически — число таких строк равно F_{8} = 21). 5) Что получается по сути - Пространство элементарных событий можно описать так: - Это множество всех последовательностей исходов монеты, которые соответствуют одной из двух ситуаций: а) завершают эксперимент на момент появления первого TT на позиции 2–6; б) не содержит TT в первых шести подбрасываниях и завершается строго по лимиту в шесть подбрасываний. - Если требуется, можно привести полный набор в виде списка (как выше) или оставить описание в виде двух частей: “последовательности, завершающиеся TT на шаге n” и “все длиной 6 без TT”. 6) Примечание для задачи на понимание - Такую задачу удобно рассматривать как задачи на ориентированное дерево решений с ограничением по глубине (не более шести шагов) и условием остановки. Это позволяет увидеть, какие истории возможны и сколько их всего. Если нужно, can привести полный список всех 21 последовательности длины 6 без TT или дать графическое дерево решений для более наглядного понимания.