Построить график: y = \frac{\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}}{\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}}

Решение задачи: построить график функции y = [1/(x − 2) + 1/(x + 2)] / [1/(x − 2) − 1/(x + 2)]

1. Область определения

• x ≠ 2 и x ≠ −2 (в точках x = ±2 дробь не определена).

2. Упрощение выражения

• Обозначим A = 1/(x−2), B = 1/(x+2).
• числитель: A + B = 1/(x−2) + 1/(x+2) = (x+2 + x−2) / [(x−2)(x+2)] = 2x/(x^2−4).
• знаменатель: A − B = 1/(x−2) − 1/(x+2) = [(x+2) − (x−2)] / [(x−2)(x+2)] = 4/(x^2−4).
• поэтому y = [2x/(x^2−4)] / [4/(x^2−4)] = (2x)/4 = x/2, при x ≠ ±2.

Итого, для всех допустимых x выполняется y = x/2, x ∈ R, x ≠ −2, 2.

3. Особенности графика

• График удовлетворяет линейному закону y = x/2, но с двумя пропусками (holes) в точках x = −2 и x = 2.
• Пропуски соответствуют точкам (-2, -1) и (2, 1) на прямой y = x/2.
• Линия пересекает ось y в точке (0, 0). Нет вертикальных или горизонтальных асимптот (за исключением пропусков).

4. Дополнительные объекты графика

• предел при x → 2: lim y = 1
• предел при x → −2: lim y = −1 (это confirms/removes removable discontinuities, т. е. holes, а не асимптоты).

5. Как построить график

• Нарисуйте прямую y = x/2 на всей плоскости.
• Уберите точки (-2, −1) и (2, 1), поставив пустые кружки (holes).
• Обозначьте область допустимого x: все x, кроме −2 и 2.

Резюме График заданной функции совпадает с прямой y = x/2, за исключением двух пропусков в точках (-2, -1) и (2, 1). Резурс: область определения x ≠ ±2; диапазон функции — все числа, кроме y = ±1.