3. Найдите множества истинности следующих предикатов, заданных на множестве всех точек плоскости (А, В и С различные фиксированные точки плоскости, / фиксированная прямая плоскости): а) Отрезок [АВ] виден из точки Х под прямым углом; б) Точка Х располагается по одну сторону с точкой А от прямой (предполагается, что точка А не лежит на прямой 1); и В; в) Точка Х располагается на прямой / и одинаково удалена от точек А г) Точка Х симметрична с некоторой точкой отрезка [АВ] от носительно точки С; д) Точка Х равноудалена от точек А и В.

Ниже разберём каждую из пяти предикатов. Пусть A, B, C — фиксированные попарно различные точки на плоскости, а l — фиксированная прямая. Нужно найти множество точек X, удовлетворяющих каждому условию. a) Отрезок [AB] виден из точки X под прямым углом - Объяснение по шагам: 1) Угол AXB равен 90°, если и только если X лежит на окружности с диаметром AB (теорема Фалеса). 2) Следовательно, множество искомых X — это окружность с диаметром AB, за исключением концов диагонали A и B (они не дают угол 90°). - Множество истинности: окружность с диаметром AB (точки A и B не принадлежат этому множеству, если требуются строгое 90°). b) Точка X находится по одну сторону от прямой l относительно точки A (A не лежит на l) - Объяснение по шагам: 1) Прямая l делит плоскость на две открытые полуплоскости. 2) Утверждение «X находится по одну сторону с точкой A» означает, что X лежит в той полуплоскости, которая содержит A, и при этом X не лежит на самой прямой l. - Множество истинности: та самая открытая полуплоскость, образованная линией l и содержащая точку A. c) Точка X лежит на прямой l и равноудалена от точек A и B - Объяснение по шагам: 1) Условие XA = XB задаёт геометрическую линию: это перпендикуляр к AB через её середину, то есть перпендикулярная биссектриса отрезка AB. 2) Для точки X на линии l одновременно выполняется X ∈ l и X ∈ PB(AB) (перпендикулярная биссектриса AB). 3) Таким образом множество — это пересечение двух прямых: l и PB(AB). Возможны три случая: пустое пересечение (линии параллельны и не совпадают), единственная точка пересечения, или вся прямая l (если l coincides с PB(AB)). - Множество истинности: l ∩ PB(AB); в общем случае — одна точка, иногда пустое, а если l совпадает с перпендикулярной биссектрисой AB, то вся линия l. d) Точка X симметрична некоторой точке отрезка [AB] относительно точки C - Объяснение по шагам: 1) Отражение любого фиксированного T на плоскости относительно точки C даёт X = 2C − T. 2) Пусть T пробегает по отрезку AB. Тогда набор всех X есть изображение AB под центральной симметрией с центром C. 3) Соответственно концы AB отображаются в A' = 2C − A и B' = 2C − B, и X пробегает по отрезку A'B'. - Множество истинности: отрезок A'B', где A' и B' — изображения A и B после симметрии относительно точки C. e) Точка X равноудалена от точек A и B - Объяснение по шагам: 1) XA = XB – это классическая характеристика множества точек, равноудалённых от A и B. 2) Множество точек, удовлетворяющее XA = XB, есть её геометрическая конструкция — прямая, перпендикулярная AB и проходящая через середину AB, т. е.Перпендикулярная биссектриса AB. - Множество истинности: перпендикулярная биссектриса отрезка AB (то есть прямая, состоящая из всех точек равноудалённых от A и B). Дополнительно (для проверки через координаты): - Пусть A(xA, yA), B(xB, yB). Тогда PB(AB) задаётся уравнением 2(xB − xA)x + 2(yB − yA)y + (xA^2 + yA^2 − xB^2 − yB^2) = 0. - Линия l задаётся уравнением ux + vy + w = 0. Для b) можно взять знак: (uxA + vyA + w) > 0 и требовать, чтобы (ux + vy + w) имела такой же знак, как у A, и X не лежал на l. - Для c) решение — пересечение l с PB(AB). - Для d) изображение AB через C даёт A' = 2C − A, B' = 2C − B; искомыйX лежит на сегменте A'B'. - Для e) прямая равенства расстояний имеет уравнение xa(x) и т.д. как в PB(AB) (линия равенства расстояний). Если хочешь, могу привести конкретные координаты примеров (с числами A, B, C и l) и выписать уравнения всех пяти множеств более детально.