4. Изобразите на координатной прямой или на координатной плоскости множества истинности следующих предикатов: a) (x > 2) ^ (x < 2) 6) (x > 2) * v(x < 2) ; в) (x > 2) leftrightarrow(x<2); r) (x >= 0) ^ (y <= 0) д) (x >= 0) * v(y <= 0) .

Ниже подробное решение и указания, как изобразить множества истинности для данных предикатов. Предположим, что x и y – вещественные числа (R). ^ обозначает логическое И (AND), v – OR, leftrightarrow – эквивалентность (↔). 1) a) (x > 2) ∧ (x < 2) - Разбор: Чтобы оба условия были истинны одновременно, нужно одновременно иметь x > 2 и x < 2. Это невозможно для вещественных чисел. - Множество истинности: пустое множество ∅. - Как изобразить на оси: на координатной прямой ничего не закрашивать. Нет точек, удовлетворяющих условию. - Ключевая мысль: конъюнкция несовместимых условий всегда ложна. 2) 6) (x > 2) ∨ (x < 2) - Разбор: Положим P: x > 2, Q: x < 2. Любое действительное x either больше 2 или меньше 2, кроме единичного исключения x = 2. - Множество истинности: все числа x ≠ 2; то есть (-∞, 2) ∪ (2, ∞). - Как изобразить на оси: закрасить обе ветви (-∞, 2) и (2, ∞); поставить открытый кружок в точке x = 2, чтобы показать, что она не входит в множество. - Ключевая мысль: объединение двух несовместимых условий охватывает всю прямую за исключением точки, где оба условия ложны. 3) в) (x > 2) ↔ (x < 2) - Разбор: P ↔ Q истинно, когда P и Q имеют одинаковую правду. P и Q не могут быть оба истинными. Они оба ложны только тогда, когда x = 2 (тогда P: false, Q: false). - Множество истинности: {2}. - Как изобразить на оси: поставить точку в x = 2 (малая точка/кружок на 2). - Ключевая мысль: эквиваленция здесь истинна лишь в точке пересечения условий, где оба из них ложны. 4) r) (x ≥ 0) ∧ (y ≤ 0) - Разбор: две условия по разным переменным. Требуется, чтобы x был не меньше 0 и одновременно y был не больше 0. - Множество истинности: часть плоскости, где x ≥ 0 и y ≤ 0, т. е. правая нижняя полуплоскость, включая оси. - Как изобразить на плоскости: shading в области справа от или на оси y (x ≥ 0) и ниже или на оси x (y ≤ 0) одновременно. Это четвертая четверть плоскости вместе с её границами (осьи x и y входят в множество). 5) д) (x ≥ 0) ∨ (y ≤ 0) - Разбор: объединение двух полуплоскостей. Множество истинности состоит в том, что либо x ≥ 0, либо y ≤ 0 (или оба). - Множество истинности: все точки плоскости, кроме открытой второй четверти (где x < 0 и y > 0). Другими словами, объединение правой полуплоскости и нижней полуплоскости: все точки, за исключением тех, что лежат в области x < 0 и y > 0. - Как изобразить на плоскости: закрашиваем всю плоскость, но не заштриховываем вторую четверть (x < 0, y > 0). Осей и границам относятся как к частям принадлежащим условию, поэтому они включены в множество. - Ключевая мысль: дизъюнкция охватывает гораздо большую часть плоскости; единственная “прямая” область без принадлежности – это открытая вторая четверть. Если хочешь, могу нарисовать простые графики (ASCII-рисунки) для каждого пункта или сгенерировать скриншоты с изображениями на координатной плоскости.