Миша движется на велосипеде равномерно и прямолинейно.Какова траектория точки на колесе велосипеда относительно Земли?

Кто движется? Миша на велосипеде без проскальзывания. Траектория точки на ободе относительно Земли — это циклоид.

Как получить формулы?

• Пусть радиус колеса R. Пусть колесо катится вправо, без проскальзывания.

• Обозначим θ — угол поворота колеса (в радианах). За каждый угол θ точка на ободе совершает соответствующее движение.

• Центр колеса C движется вдоль оси x на расстояние s = Rθ, поэтому координаты центра: x_C = Rθ, y_C = R (радиус над землёй).

• Рассмотрим точку P на ободе. Пусть изначально P была в точке контакта колеса с землёй (нижняя точка). После поворота на угол θ вбок вектор от центра к P поворачивается по часовой стрелке на угол θ и равен (-R sin θ, -R cos θ).

• Абсолютные координаты P (относительно Земли): x = x_C + x_rel = Rθ − R sin θ y = y_C + y_rel = R − R cos θ

• Это стандартная параметризация траектории точки на ободе при катании без проскальзывания: x(θ) = R(θ − sin θ) y(θ) = R(1 − cos θ)

Что это за траектория?

• Это циклоидa.
• Свойства:
  • Пики траектории (к cusps) происходят при θ = 2πk (когда точка снова касается земли). Расстояние между соседними вмятинами по оси x равно 2πR.
  • Максимальная высота над землёй достигается в θ = π — y_max = 2R.
  • Длина одной дуги между двумя впадинами (одна «дуга» цикла) равна 8R (для более продвинутого свойства).

Итого: траектория точки на колесе при равномерном прямолинейном движении велосипеда без проскальзывания — циклоида, заданная параметрическими уравнениями x = R(θ − sin θ), y = R(1 − cos θ).