Задача в разметке куба ABCDA1B1C1D1: показать, что BC скрещивается с AD1, и найти отношение BC ⟂ DD1.
- BC скрещивается с AD1 (то есть BC и AD1 — скрещивающиеся линии)
Удобно ввести обычную координатную модель куба:
A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1).
Линия BC: через B в направлении C−B = (0,1,0).
Её параметризуем: L_BC(t) = B + t(C−B) = (1,0,0) + t(0,1,0) = (1, t, 0).
Линия AD1: через A в направлении D1−A = (0,1,1).
Её параметризуем: L_AD1(s) = A + s(D1−A) = (0,0,0) + s(0,1,1) = (0, s, s).
Пусть точки на этих линиях совпадают: (1, t, 0) = (0, s, s).
Сравнивая координаты: 1 = 0 — противоречие. Значит, точек общих нет; линии не пересекаются.
При этом направления не параллельны: BC имеет направляющий вектор v_BC = (0,1,0), AD1 имеет вектор v_AD1 = (0,1,1). Эти вектора не пропорциональны (у AD1 есть компонент z, у BC — ноль), следовательно линии не параллельны.
Итак, BC и AD1 не пересекаются и не параллельны — они скрещиваются (прикладной смысл: скрещивающиеся линии в пространстве).
- BC ⟂ DD1
Направления этих линий:
- BC: v_BC = C−B = (0,1,0).
- DD1: DD1 = D1 − D = (0,0,1).
Скалярное произведение: v_BC · DD1 = 0·0 + 1·0 + 0·1 = 0.
Следовательно, направления BC и DD1 перпендикулярны друг другу. В контексте геометрии куба это означает, что BC ⟂ DD1 (направления перпендикулярны; точки не обязательно лежат на одной прямой, поскольку линии не пересекаются, но угол между ними равен 90° по определению направления).
Итого:
- BC скрещивается с AD1.
- BC перпендикулярна DD1.
